目錄／運動學 Kinematics

速度與加速度例題Velocity & Acceleration Example

範例一：滑塊在轉動桿上滑動 Slider on a Rotating Rod

$AC$ 桿之角速度為 $\vec\omega$。
$AC$ 桿之角加速度為 $\vec\alpha$。
滑塊 $B$ 於 $AC$ 桿上滑動。
$xyz$ 座標固定於 $AC$ 桿上，原點在 $A$。

$$\vec V_B = \vec V_A + \vec\omega\times\overrightarrow{AB} + \left(\vec V_B\right)_{xyz}$$ $$\begin{aligned} \vec a_B = \vec a_A &+ \vec\alpha\times\overrightarrow{AB} + \vec\omega\times\left(\vec\omega\times\overrightarrow{AB}\right) \\ &+ \left(\vec a_B\right)_{xyz} + 2\vec\omega\times\left(\vec V_B\right)_{xyz} \end{aligned}$$

觀念分析

$$\vec\omega\times\left(\vec\omega\times\overrightarrow{AB}\right) = \left(\vec\omega\cdot\overrightarrow{AB}\right)\vec\omega - \left(\vec\omega\cdot\vec\omega\right)\overrightarrow{AB}$$ 若 $\vec\omega \perp \overrightarrow{AB}$，則 $\vec\omega\cdot\overrightarrow{AB} = 0$ $$\Rightarrow\; \vec\omega\times\left(\vec\omega\times\overrightarrow{AB}\right) = -\left(\vec\omega\cdot\vec\omega\right)\overrightarrow{AB} = -\omega^2\,\overrightarrow{AB}$$
若滑塊固定於 $AC$ 桿上，則 $$\vec V_B = \vec V_A + \vec\omega\times\overrightarrow{AB}$$ $$\vec a_B = \vec a_A + \vec\alpha\times\overrightarrow{AB} + \vec\omega\times\left(\vec\omega\times\overrightarrow{AB}\right)$$
$\left(\vec V_B\right)_{xyz}$ 為當 $AC$ 桿不動時，滑塊 $B$ 之絕對速度。
$\left(\vec a_B\right)_{xyz}$ 為當 $AC$ 桿不動時，滑塊 $B$ 之絕對加速度。

範例二：兩連桿，求 $\vec V_C$ 與 $\vec a_C$ Two-Link Arm

本範例非常重要！請務必徹底了解！

$AB$ 桿：角速度 $\vec\omega_1$、角加速度 $\vec\alpha_1$。
$BC$ 桿相對 $AB$ 桿：角速度 $\vec\omega_2$、角加速度 $\vec\alpha_2$。

方法一（M I）：以 $BC$ 桿的絕對角速度直接計算

$$\vec V_B = \vec V_A + \vec\omega_1\times\overrightarrow{AB}$$ $$\vec a_B = \vec a_A + \vec\alpha_1\times\overrightarrow{AB} + \vec\omega_1\times\left(\vec\omega_1\times\overrightarrow{AB}\right)$$ $$\vec V_C = \vec V_B + \vec\omega_{BC}\times\overrightarrow{BC}$$ $$\vec a_C = \vec a_B + \vec\alpha_{BC}\times\overrightarrow{BC} + \vec\omega_{BC}\times\left(\vec\omega_{BC}\times\overrightarrow{BC}\right)$$ $$\text{其中：}\quad \vec\omega_{BC} = \vec\omega_1 + \vec\omega_2\,;\qquad \vec\alpha_{BC} = \frac{d}{dt}\left(\vec\omega_1 + \vec\omega_2\right)$$

請問：$\vec\alpha_{BC} = \vec\alpha_1 + \vec\alpha_2$ 對嗎？

看解答

一般不對。$\vec\omega_2$ 是 $BC$ 相對 $AB$ 的角速度，它的方向會隨 $AB$ 桿一起轉動，對時間微分時要用運輸定理：

$$\begin{aligned} \vec\alpha_{BC} = \frac{d}{dt}\left(\vec\omega_1 + \vec\omega_2\right)_{XYZ} &= \vec\alpha_1 + \left(\frac{d\vec\omega_2}{dt}\right)_{xyz} + \vec\omega_1\times\vec\omega_2 \\ &= \vec\alpha_1 + \vec\alpha_2 + \vec\omega_1\times\vec\omega_2 \end{aligned}$$

$\vec\alpha_2 = \left(d\vec\omega_2/dt\right)_{xyz}$ 為 $BC$ 相對 $AB$ 的角加速度（$xyz$ 固定於 $AB$ 桿上）。
只有 $\vec\omega_1 \parallel \vec\omega_2$（例如平面運動，兩者都垂直於運動平面）時 $\vec\omega_1\times\vec\omega_2 = \vec 0$，才有 $\vec\alpha_{BC} = \vec\alpha_1 + \vec\alpha_2$。
這也是 M II 多出科氏項 $2\vec\omega_1\times(\vec\omega_2\times\overrightarrow{BC})$ 的原因之一；兩種方法算出的 $\vec a_C$ 完全相同（已用數值模擬驗證）。

方法二（M II）：$xyz$ 座標固定於 $AB$ 桿上

$$\vec V_C = \vec V_A + \vec\omega_1\times\overrightarrow{AC} + \vec\omega_2\times\overrightarrow{BC}$$ $$\begin{aligned} \vec a_C = \vec a_A &+ \vec\alpha_1\times\overrightarrow{AC} + \vec\omega_1\times\left(\vec\omega_1\times\overrightarrow{AC}\right) \\ &+ \vec\alpha_2\times\overrightarrow{BC} + \vec\omega_2\times\left(\vec\omega_2\times\overrightarrow{BC}\right) \\ &+ 2\vec\omega_1\times\left(\vec\omega_2\times\overrightarrow{BC}\right) \end{aligned}$$

觀念分析

M I 不需考慮科氏加速度，但需求 $\vec\omega_{BC}$ 及 $\vec\alpha_{BC}$；M II 反之。
M II 的 $xyz$ 座標固定於 $AB$ 桿上：
- $AB$ 桿之延伸體上 $C$ 點之加速度為 $\vec a_A + \vec\alpha_1\times\overrightarrow{AC} + \vec\omega_1\times\left(\vec\omega_1\times\overrightarrow{AC}\right)$
- $\left(\vec a_C\right)_{xyz} = \vec\alpha_2\times\overrightarrow{BC} + \vec\omega_2\times\left(\vec\omega_2\times\overrightarrow{BC}\right)$
- $\left(\vec V_C\right)_{xyz} = \vec\omega_2\times\overrightarrow{BC}$

範例三：指出錯誤之處 Find the Mistake

設 $A$ 點不動，$AB$ 桿繞 $A$ 點以等角速度 $\omega$ 逆時針方向旋轉。
$\overline{AB} = r$。

請指出以下錯誤之處：

$$\begin{aligned} \vec V_B &= \vec\omega\times\overrightarrow{AB} \\ &= \omega\vec k\times r\vec j \\ &= -\omega r\,\vec i \\ \vec a_B &= \frac{d}{dt}\vec V_B = \vec 0 \end{aligned}$$

看解答

$$\vec a_B = \frac{d}{dt}\vec V_B = \vec 0 \quad\text{錯誤！為何？}$$ $$\begin{aligned} \text{正解：}\quad \vec a_B = \frac{d}{dt}\vec V_B &= \frac{d}{dt}\left(\vec\omega\times\overrightarrow{AB}\right) \\ &= \frac{d\vec\omega}{dt}\times\overrightarrow{AB} + \vec\omega\times\frac{d}{dt}\overrightarrow{AB} \\ &= \vec\omega\times\left(\vec V_B - \vec V_A\right) \\ &= \vec\omega\times\vec V_B \\ &= \omega\vec k\times\left(-\omega r\,\vec i\right) \\ &= -\omega^2 r\,\vec j \end{aligned}$$

$\vec V_B$ 大小不變，但方向一直在轉，所以 $\frac{d}{dt}\vec V_B \ne \vec 0$；結果 $-\omega^2 r\,\vec j$ 指向 $A$，就是向心加速度。
編註：原圖 $AB$ 畫成水平（沿 $\vec i$），但計算以 $\overrightarrow{AB} = r\vec j$ 進行。若依圖取 $\overrightarrow{AB} = r\vec i$，則 $\vec V_B = \omega r\,\vec j$、$\vec a_B = -\omega^2 r\,\vec i$，同樣指向 $A$，結論不變。