感知器的訓練 Training

（原講義為 Matlab 手冊的英文截圖，以下改寫為中文，公式改以 LaTeX 重排。）

反覆用 sim 把輸入送進感知器、再用 learnp 依誤差修改權值與偏權值，只要問題是感知器解得了的，最後一定能找到解。把全部訓練輸入與目標走過一遍，稱為一個 pass（回合）。

函數 train 就是執行這個迴圈：每個回合依序處理指定的輸入，對每個輸入向量計算輸出、誤差，並調整網路。

注意 train 並不保證訓練出來的網路一定有效。得到新的 $\mathbf W$ 與 $\mathbf b$ 後，必須對每個輸入向量計算網路輸出，確認是否都達到目標。若沒有成功，可以再呼叫 train 多訓練幾個回合；或是分析問題，看它是否適合用感知器解（感知器解不了的問題，例如XOR）。

手算一遍 Working Through a Simple Problem

以一個神經元、兩元素輸入向量的感知器為例（同感知器神經元，R = 2），要解下面的分類問題：

$$\left\{\mathbf p_1 = \begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}, t_1 = 0\right\}\ \left\{\mathbf p_2 = \begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix}, t_2 = 1\right\}\ \left\{\mathbf p_3 = \begin{bmatrix}-2\\2\end{bmatrix}, t_3 = 0\right\}\ \left\{\mathbf p_4 = \begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}, t_4 = 1\right\}$$

用預設的初值 $\mathbf W(0) = [0\ \ 0]$、$b(0) = 0$；括號中的數字表示第幾步。第一個輸入：

$$a = \operatorname{hardlim}(\mathbf W(0)\mathbf p_1 + b(0)) = \operatorname{hardlim}\!\left([0\ \ 0]\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix} + 0\right) = \operatorname{hardlim}(0) = 1$$

輸出不等於目標 $t_1 = 0$，用感知器規則依誤差修正：

$$e = t_1 - a = 0 - 1 = -1,\qquad \Delta\mathbf W = e\,\mathbf p_1^{\mathsf T} = (-1)[2\ \ 2] = [-2\ \ {-2}],\qquad \Delta b = e = -1$$ $$\mathbf W(1) = \mathbf W(0) + \Delta\mathbf W = [-2\ \ {-2}],\qquad b(1) = b(0) + \Delta b = -1$$

接著輸入 $\mathbf p_2$：

$$a = \operatorname{hardlim}(\mathbf W(1)\mathbf p_2 + b(1)) = \operatorname{hardlim}\!\left([-2\ \ {-2}]\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix} - 1\right) = \operatorname{hardlim}(1) = 1$$

這次目標是 1，誤差為 0，權值與偏權值不變：$\mathbf W(2) = \mathbf W(1)$、$b(2) = b(1)$。照這樣繼續下去，全部步驟如下（補充：以 verify_nn2.py 逐步核對）：

步	回合	輸入	n	a	t	e	之後的 W	之後的 b
1	1	p₁	0	1	0	−1	[−2 −2]	−1
2	1	p₂	1	1	1	0	[−2 −2]	−1
3	1	p₃	−1	0	0	0	[−2 −2]	−1
4	1	p₄	−1	0	1	+1	[−3 −1]	0
5	2	p₁	−8	0	0	0	[−3 −1]	0
6	2	p₂	−1	0	1	+1	[−2 −3]	1
7	2	p₃	−1	0	0	0	[−2 −3]	1
8	2	p₄	0	1	1	0	[−2 −3]	1
9～12	3	p₁～p₄	−9、5、−1、0	0、1、0、1	0、1、0、1	全為 0	[−2 −3]	1

走完第一回合得到 $\mathbf W(4) = [-3\ \ {-1}]$、$b(4) = 0$。再用全部輸入檢查一次，第 4 個以外並不都對；演算法在第 6 次輸入時收斂，最後的值為 $\mathbf W(6) = [-2\ \ {-3}]$、$b(6) = 1$。

編註：

原講義第二步的式子把 $\mathbf p_2$ 寫成 $[-2\ \ {-2}]^{\mathsf T}$，應為 $[1\ \ {-2}]^{\mathsf T}$。巧的是用錯的向量算出 $4 + 4 - 1 = 7$，結果同樣是 hardlim = 1，所以後面的數字都對。上面已改正。
第 1 步與最後的 $\mathbf p_4$ 都剛好 n = 0，依 hardlim(0) = 1 才得到表中的結果：最後的邊界正好通過 $\mathbf p_4$。

用 train 訓練 Using train

下面的程式建立如上的感知器，初值為 0。先只看一個輸入 $\mathbf p = [2;\ 2]$、目標 $t = 0$，並把 epochs 設為 1，讓 train 只走過輸入一次：

net = newp([-2 2; -2 +2], 1);
p = [2; 2];
t = [0];
net.trainParam.epochs = 1;
net = train(net, p, t);
w =
    -2    -2
b =
    -1

只用第一個向量訓練後，權值與偏權值為 [−2 −2] 與 −1，和手算一樣。接著輸入 $\mathbf p_2$，輸出是 1；目標也是 1，誤差為 0，不會改變。可以這樣一個接一個輸入，但用 train 可以自動完成。用全部四個輸入訓練一個回合：

net = newp([-2 2; -2 +2], 1);
net.trainParam.epochs = 1;
p = [[2;2] [1;-2] [-2;2] [-1;1]];
t = [0 1 0 1];
net = train(net, p, t);
w =
    -3    -1
b =
     0

與手算第一回合的結果相同。模擬訓練後的網路：

a = sim(net, p)
a =
    [0]    [0]    [1]    [1]

輸出還不等於目標，需要訓練更多回合。試試四個回合：

TRAINC, Epoch 0/20
TRAINC, Epoch 3/20
TRAINC, Performance goal met.

▶ 在 Colab 開啟原課程的 MATLAB 程式已改寫成 Python 筆記本（第 4 節 learnp 與 train），可以直接在瀏覽器執行、修改參數。⬇ 下載 NN.ipynb

網路在第三回合輸入時已經訓練完成。手算時網路在第 6 次輸入（第二回合中間）就收斂了，但要到第三回合把每個輸入都檢查過才能確認。最後的權值與偏權值為 w = [−2 −3]、b = 1，模擬輸出 a = [0 1 0 1]，誤差全為 0，訓練成功。

原文說 newp 建立的網路預設訓練函數是 trains（可用 net.trainFcn 查看）：它以最純粹的形式套用感知器規則，依序逐一輸入，每輸入一個向量就修正一次。因此除非問題是單層感知器解不了的，用 train 訓練感知器一定會在有限步內收斂。

編註：同一頁裡訓練過程顯示的是 TRAINC，結尾卻說預設訓練函數是 trains。課程附檔 NnetAnd.mat（以 newp 建立）可以釐清：net.trainFcn = 'trainc'、net.adaptFcn = 'trains'。所以用 train 時跑的是 trainc（逐筆的循環訓練），trains 是 adapt 用的。另外原文的誤差寫成 a(i) − t(i)，與前面 e = t − a 的定義正負相反；這裡全為 0，不影響結論。還有，原文說「試試四個回合」，輸出卻顯示 Epoch 0/20（上限 20 回合），兩者不一致；原文沒有附這一段的程式碼。

原圖對照（取自 Matlab 手冊）

資料來源：原課程網頁 myCourse/courses/IntControl/NNet/Train.htm（Microsoft FrontPage，Big5）；2026-11-02 重建：數學式改以 LaTeX 重寫、示意圖以 SVG 重繪，原圖收在「原圖對照」；標示「補充」者為新增內容。