傳統 PID 控制
PID 控制器是工業上用得最多的回授控制器：溫度、流量、壓力、馬達轉速與位置，大多數迴路都是 PID。它由三項組成，所以也叫「三項控制器」（three-term controller）。（本頁文字為依原講義改寫的中文說明）
| 項 | 名稱 | 看的是 | 主要作用 |
|---|---|---|---|
| P | 比例 Proportional | 現在的誤差 | 誤差越大推得越用力，決定反應快慢；單獨使用會留下穩態誤差 |
| I | 積分 Integral | 過去累積的誤差 | 只要還有誤差就持續累加，消除穩態誤差，提供精確度 |
| D | 微分 Derivative | 誤差變化的趨勢 | 提早踩煞車，增加阻尼、減少超越量；但會放大量測雜訊 |
PID 演算法 Algorithms
控制器比較設定值（SP）與量測值（PV）得到誤差 \(e = SP - PV\)，輸出 \(u(t)\) 有兩種常見寫法。理想式（ISA 標準式）以一個增益 \(K_p\) 乘上整個括號，積分、微分強弱用時間常數表示：
$$u(t) = K_p\left(e(t) + \frac{1}{T_i}\int_0^t e(\tau)\,d\tau + T_d\,\frac{de(t)}{dt}\right)$$把括號展開就是並聯式，三項各有獨立的增益：
$$u(t) = K_p\,e(t) + K_i\int_0^t e(\tau)\,d\tau + K_d\,\frac{de(t)}{dt},\qquad K_i = \frac{K_p}{T_i},\quad K_d = K_pT_d$$取拉氏轉換，控制器的轉移函數為
$$C(s) = \frac{U(s)}{E(s)} = K_p + \frac{K_i}{s} + K_d\,s = \frac{K_d s^2 + K_p s + K_i}{s} = K_p\left(1 + \frac{1}{T_i s} + T_d s\right)$$實作細節（取樣、梯形積分、微分只作用在量測值、輸出限制）見數位實作；用運算放大器做的版本見類比實作。
例題：直流馬達轉速控制 DC Motor Speed Control
以原講義 DCMotorData.m 的參數建模：電感 \(L\) = 0.5 H、電阻 \(R\) = 1 Ω、轉子慣量 \(J_m\) = 0.01 kg·m²、黏滯摩擦 \(B\) = 0.1 N·m·s、反電動勢常數 \(K_e\) = 轉矩常數 \(K_t\) = 0.01。
穩態增益 \(K_t/(RB+K_eK_t)\) = 0.01/0.1001 ≈ 0.0999 (rad/s)/V。
開迴路
輸入 0.6 V，轉速只到 0.6 × 0.0999 ≈ 0.060 rad/s；在 \(t\) = 4 s 加上負載（原模型以 \(T_L/J_m\) = 3 rad/s² 加在角加速度上，即 \(T_L\) = 0.03 N·m），轉速再掉 \(R\,T_L/(RB+K_eK_t)\) ≈ 0.30 rad/s，變成 −0.24 rad/s——馬達被負載拖著反轉，開迴路完全無法應付。
加上 PID 回授
設定值 1 rad/s 的步階響應（三組增益與原講義相同）：
- \(K_p\)=100、\(K_i\)=1、\(K_d\)=1：反應很快，但積分太弱，3 s 時只到 0.91，誤差要很久才消失。
- \(K_i\) 加到 200：穩態誤差很快歸零，但超越量變成約 25%。
- 再把 \(K_d\) 加到 10：超越量降到約 12%，約 1.3 s 安定。
verify_pid.py 重算，三條曲線的峰值（1.08、1.25、1.12）與峰值時間都和原圖吻合。若微分真的作用在誤差上（虛線），設定值的步階會在 \(t=0^+\) 產生一個電壓脈衝，曲線反而幾乎沒有超越量，但實際的驅動器根本送不出這種脈衝。這也是工業 PID 多半讓微分只作用在量測值的原因。下面的模擬可以自己調整三個增益、切換微分的作用對象，並在 1.5 s 加上負載：
加負載
設定 0.6 rad/s、\(t\) = 4 s 加上同樣的負載：PID 迴路只讓轉速短暫下降，積分項很快就把它拉回 0.6 rad/s。原講義附檔：開迴路模型、PID 模型、PID 加負載模型、DCMotorData.m、DCMotorDataPID.m。
P、I、D 各自的影響 Effects of Kp, Ki, Kd
| 增益加大 | 上升時間 | 超越量 | 安定時間 | 穩態誤差 |
|---|---|---|---|---|
| \(K_p\) | 縮短 | 增加 | 小幅變化 | 減小（不會歸零） |
| \(K_i\) | 縮短 | 增加 | 增加 | 消除 |
| \(K_d\) | 小幅變化 | 減少 | 縮短 | 小幅變化 |
這張表只是趨勢：三個增益會互相影響，調了其中一個，另外兩個的效果也跟著變，只能當調整時的參考。設計 PID 的一般步驟：
- 先看開迴路響應，找出要改善什麼。
- 加比例控制縮短上升時間。
- 加微分控制壓低超越量。
- 加積分控制消除穩態誤差。
- 反覆微調 \(K_p\)、\(K_i\)、\(K_d\) 到滿意為止。
三項不一定都要用：PI 夠好就不必加 D，控制器越簡單越好。另見Simulink 示範、用 SISOTool 設計、PID 與根軌跡（舊站）↗。
Ziegler–Nichols 調整法 Ziegler–Nichols Tuning
Ziegler 與 Nichols 在 1942 年提出的經驗法則，至今仍是現場調 PID 的起點。以理想式 \(C(s) = K_p(1 + 1/(T_is) + T_ds)\) 表示，分成兩種方法。為了說明，以下用範例受控體 \(G(s) = 1/(s+1)^3\) 示範（補充）。
反應曲線法（開迴路）
對受控體做步階測試，在響應的反曲點畫切線，量出延遲時間 \(L\) 與時間常數 \(T\)，並算出製程增益 \(K = \Delta PV/\Delta OP\)，令 \(K_c = T/(K L)\)：
| 控制器 | \(K_p\) | \(T_i\) | \(T_d\) |
|---|---|---|---|
| P | \(K_c\) | ∞ | 0 |
| PI | \(0.9\,K_c\) | \(3.3\,L\) | 0 |
| PID | \(1.2\,K_c\) | \(2\,L\) | \(0.5\,L\) |
範例：\(1/(s+1)^3\) 的步階響應反曲點在 \(t\) = 2 s，切線得 \(L\) = 0.805 s、\(T\) = 3.695 s、\(K\) = 1，\(K_c\) = 4.59，所以 PID 取 \(K_p\) = 5.50、\(T_i\) = 1.61 s、\(T_d\) = 0.40 s。
臨界增益法（閉迴路）
- 只用比例控制（關掉積分、微分）。
- 逐步加大比例增益，直到輸出出現持續的等幅振盪，此時的增益稱為臨界增益 \(K_u\)（原講義記為 \(K_c\)）。
- 量出振盪週期 \(T_u\)（原講義記為 \(T_c\)）。
| 控制器 | \(K_p\) | \(T_i\) | \(T_d\) |
|---|---|---|---|
| P | \(0.5\,K_u\) | ∞ | 0 |
| PI | \(0.45\,K_u\) | \(0.833\,T_u\) | 0 |
| PID | \(0.6\,K_u\) | \(0.5\,T_u\) | \(0.125\,T_u\) |
範例：閉迴路特徵方程式 \(s^3+3s^2+3s+1+K=0\)，以羅斯判別法得臨界 \(K_u\) = 8，此時極點在 \(s = \pm j\sqrt3\)，週期 \(T_u = 2\pi/\sqrt3\) = 3.63 s；PID 取 \(K_p\) = 4.8、\(T_i\) = 1.81 s、\(T_d\) = 0.45 s。
Ziegler–Nichols 的目標是「每週期衰減到四分之一」，參數偏積極，通常會有不小的超越量，只能當起點，還要再微調。
延伸閱讀（原講義附檔）：Iterative Feedback Tuning of PID、PIDTuning、PID Tuning、PID_Tuning1；Automation.com ↗（原講義另列 ExperTune 公司網站，已無法連線）。
原圖對照（演算法）
原圖對照（直流馬達例題的 Simulink 模型與響應）
原圖對照（Ziegler–Nichols）
