SISOTool
Matlab 的 SISO Design Tool（sisotool）可以在根軌跡圖與波德圖上用滑鼠拖拉極點、零點與增益，即時看到閉迴路響應，很適合用來設計 PID。以下是原講義的操作步驟（截圖為 Matlab 6.5 版，新版 Control System Designer 的操作邏輯相同；步驟說明為改寫的中文）。範例受控體：
▶ 在 Colab 開啟原課程的 MATLAB 程式已改寫成 Python 筆記本（第 9 節：SISOTool 設計結果的驗證），可以直接在瀏覽器執行、修改參數。⬇ 下載 PID.ipynb
操作步驟 Steps
- 在命令視窗建立受控體並開啟工具：
sys = tf([1],[1 1 2])，再輸入sisotool。
- File → Import，從 Workspace 選
sys，按 G 欄位旁的箭頭匯入成受控體 G（H、F、C 先維持 1）。
- 匯入後左邊是根軌跡、右邊是開迴路波德圖。受控體的兩個極點在 \(s = -0.5 \pm j1.32\)，目前控制器 \(C(s) = 1\)。
- PID 可以寫成「一個積分器＋兩個零點」：
$$C(s) = K_P + \frac{K_I}{s} + K_D s = \frac{K_D s^2 + K_P s + K_I}{s} = K_I\,\frac{1 + \frac{K_P}{K_I}s + \frac{K_D}{K_I}s^2}{s}$$
所以先在原點加一個極點（積分器）：在根軌跡上按右鍵加實數極點，再到 Edit Compensator 把位置改成 0。
- 再加一對共軛複數零點（約在 \(s = -1.57 \pm j0.95\)），把根軌跡往左拉，讓閉迴路極點遠離虛軸。
- 拖動根軌跡上的粉紅色方塊（閉迴路極點）調整增益，這裡增益調到 5.42，相位邊限 51.7°。
- Analysis → Response to Step Command 看閉迴路步階響應：超越量約 13%、約 1.1 s 到峰值、穩態誤差為零。
換算成 PID 增益 Converting to PID Gains
最後的控制器是 \(C(s) = 5.42\,\dfrac{1 + 0.94s + (0.55s)^2}{s}\)。對照第 4 步的形式（補充）：
$$K_I = 5.42,\qquad K_P = 5.42 \times 0.94 = 5.09,\qquad K_D = 5.42 \times 0.55^2 = 1.64$$以 verify_pid.py 用這組增益重新模擬，步階響應的峰值與峰值時間和第 7 步的截圖一致。
其餘操作截圖
