其他機械元件：厚壁圓筒Miscellaneous Machine Elements — Thick-Walled Cylinders
受力元素 Stresses on an Element
內半徑 \(a\)、外半徑 \(b\) 的圓筒，受內壓 \(p_i\)、外壓 \(p_o\)。由於軸對稱，半徑 \(r\) 處只有徑向應力 \(\sigma_r\) 與環向（切向）應力 \(\sigma_t\)，兩者都只隨 \(r\) 變化。取半徑 \(r\)、厚 \(dr\) 的半圓環（單位長度）為自由體，垂直方向的力平衡：
$$2\sigma_t\,dr+2\sigma_r r=2\left(\sigma_r+d\sigma_r\right)\left(r+dr\right)\ \Longrightarrow\ \sigma_t=\sigma_r+r\frac{d\sigma_r}{dr}=\frac{d\left(r\sigma_r\right)}{dr}$$（半圓環內、外表面上徑向壓力在垂直方向的合力分別為 \(2\sigma_r r\) 與 \(2(\sigma_r+d\sigma_r)(r+dr)\)，與鉚接例 7-6 求環向力的方法相同。）
原圖對照（厚壁圓筒）
Lamé 方程式 Lamé Equations
只有一條平衡方程式、兩個未知應力，還需要變形條件。圓筒很長、斷面保持平面時，軸向應變為常數，可導出 \(\sigma_r+\sigma_t=2C_1\)（常數）。代入平衡方程式：
$$\frac{d\left(r\sigma_r\right)}{dr}+\sigma_r=2C_1\ \Longrightarrow\ \frac1r\frac{d\left(r^2\sigma_r\right)}{dr}=2C_1\ \Longrightarrow\ \sigma_r=C_1-\frac{C_2}{r^2},\qquad \sigma_t=C_1+\frac{C_2}{r^2}$$由邊界條件 \(\sigma_r(a)=-p_i\)、\(\sigma_r(b)=-p_o\) 求出 \(C_1\)、\(C_2\)：
$$\sigma_r=\frac{p_ia^2-p_ob^2}{b^2-a^2}-\frac{\left(p_i-p_o\right)a^2b^2}{\left(b^2-a^2\right)r^2},\qquad \sigma_t=\frac{p_ia^2-p_ob^2}{b^2-a^2}+\frac{\left(p_i-p_o\right)a^2b^2}{\left(b^2-a^2\right)r^2}$$只受內壓（\(p_o=0\)）時，最大應力都在內壁：
$$\sigma_{t\,max}=p_i\frac{b^2+a^2}{b^2-a^2},\qquad \sigma_r=-p_i,\qquad \tau_{max}=\frac{\sigma_t-\sigma_r}2=p_i\frac{b^2}{b^2-a^2}$$例題 Example
鋼質圓筒內半徑 2 in、外半徑 4 in，內壓 10 000 psi。求內、外壁的環向應力與最大剪應力，並與薄殼公式比較。
薄殼公式以內半徑計算 \(pa/t=10\,000\times2/2=10\,000\) psi，低估 40%；以平均半徑計算 \(10\,000\times3/2=15\,000\) psi，仍低估 10%。
環向應力集中在內壁附近，外壁只有內壁的 40%。這也是高壓容器常以收縮配合（熱套）把兩層圓筒套在一起的原因：外筒對內筒施加外壓，預先降低內壁的拉應力。
壁厚的效益 Effect of Wall Thickness
以 \(k=b/a\) 表示，\(\sigma_{t\,max}/p_i=(k^2+1)/(k^2-1)\)。加厚管壁的效益很快遞減：\(k\) 從 2 增到 4，最大應力只從 \(1.67p_i\) 降到 \(1.13p_i\)；即使壁厚無限大，最大環向應力也不會低於 \(p_i\)。所以單層圓筒能承受的內壓不可能超過材料的容許拉應力，更高的壓力必須靠熱套或自緊（autofrettage）等預應力方法。