形心與慣性矩Centroid and Moment of Inertia
本章是後面彎曲應力 \(\sigma = My/I\)、扭轉應力 \(\tau = Tr/J\) 的基礎：先找出截面的形心（Centroid），再算對形心軸的面積慣性矩（Area moment of inertia）。
形心 Centroid
$$\bar x=\frac{\displaystyle\int_A x\,dA}{\displaystyle\int_A dA},\qquad \bar y=\frac{\displaystyle\int_A y\,dA}{\displaystyle\int_A dA}$$
\(\int_A x\,dA\)、\(\int_A y\,dA\) 稱為面積的一次矩（First moment of area）；形心就是「一次矩為零」的那一點。
若座標原點就取在形心上（\(\bar x=\bar y=0\)），則：
$$\bar x=0\;\Longrightarrow\;\boxed{\int_A x\,dA=0}\quad(\,y\text{ 軸通過形心}\,)\qquad\qquad \bar y=0\;\Longrightarrow\;\boxed{\int_A y\,dA=0}\quad(\,x\text{ 軸通過形心}\,)$$
這兩個式子在下面推導平行軸定理時會用到。
對稱與形心軸 Symmetry
- 對稱軸一定通過形心：對稱軸兩側的 \(y\,dA\) 一正一負成對抵消，所以 \(\int_A y\,dA=0\)。圖中橘色軸都可直接判定通過形心。
- 槽鋼只對 x 軸對稱，形心的左右位置（灰色 y 軸）要另外計算；本圖尺寸算得 \(\bar x\approx 60.4\)，偏向腹板一側。
- Z 形沒有對稱軸，但對中心點對稱：每個 \((x,y)\) 都有 \((-x,-y)\) 配對，兩個一次矩都為零，形心就在中心。
原圖對照（形心）
面積慣性矩 Area Moment of Inertia
$$I_{xx}=\int_A y^2\,dA,\qquad I_{yy}=\int_A x^2\,dA$$
$$I_{zz}=J=\int_A r^2\,dA=\int_A\left(x^2+y^2\right)dA$$
$$\boxed{J=I_{xx}+I_{yy}}\qquad I_{xy}=\int_A xy\,dA$$
- \(I_{xx}\)：對 x 軸的慣性矩，量的是面積離 x 軸「有多遠」（取 \(y^2\)），決定繞 x 軸彎曲時的勁度。
- \(J\)：極慣性矩（Polar moment of inertia），對垂直於平面的 z 軸，決定圓軸扭轉時的勁度。\(J=I_{xx}+I_{yy}\) 稱為垂直軸定理。
- \(I_{xy}\)：慣性積（Product of inertia），可正可負；只要 x 或 y 有一軸是對稱軸，\(I_{xy}=0\)。
矩形 Rectangle
取寬 \(b\)、厚 \(dy\) 的水平細條：\(dA=b\,dy\)
$$I_{xx}=\int_A y^2\,dA=\int_{-h/2}^{h/2}y^2\,b\,dy=\frac{b}{3}\,y^3\Big|_{-h/2}^{h/2}=\frac{bh^3}{12}$$ $$\boxed{I_{xx}=\frac{bh^3}{12}}\qquad\text{同理}\quad I_{yy}=\frac{hb^3}{12}$$ $$J_C=I_{xx}+I_{yy}=\frac{bh^3+hb^3}{12}$$注意 \(h\) 是垂直於彎曲軸的尺寸，且是三次方：同樣面積的木板「立著放」比「平放」抗彎得多。
圓形 Circle
取半徑 \(\rho\)、寬 \(d\rho\) 的同心圓環：\(dA=2\pi\rho\,d\rho\)
$$J_C=\int_A\rho^2\,dA=\int_0^r\rho^2\,2\pi\rho\,d\rho=2\pi\int_0^r\rho^3\,d\rho=\frac{\pi r^4}{2}$$ $$r=\frac d2\;\Longrightarrow\;\boxed{J_C=\frac{\pi d^4}{32}}$$圓對任一直徑都對稱，所以 \(I_{xx}=I_{yy}\)，再由 \(J_C=I_{xx}+I_{yy}\)：
$$I_{xx}=I_{yy}=\frac12 J_C=\frac{\pi d^4}{64}$$原圖對照（慣性矩、矩形、圓形）
平行軸定理 Parallel Axis Theorem
x、y 為形心軸（橘色），X、Y 為與它們平行的任意軸：
$$X=x+d_2,\qquad Y=y+d_1$$ $$\begin{aligned}I_{XX}&=\int_A Y^2\,dA=\int_A\left(y+d_1\right)^2dA\\&=\int_A y^2\,dA+2d_1\!\int_A y\,dA+d_1^2\!\int_A dA\\&=I_{xx}+Ad_1^2+2d_1\!\int_A y\,dA\end{aligned}$$因為 x 軸通過形心，\(\int_A y\,dA=0\)，最後一項消失；y 方向同理：
$$\boxed{I_{XX}=I_{xx}+Ad_1^2}\qquad\qquad \boxed{I_{YY}=I_{yy}+Ad_2^2}$$
$$J_O=I_{XX}+I_{YY}=I_{xx}+I_{yy}+A\left(d_1^2+d_2^2\right)\;\Longrightarrow\;\boxed{J_O=J_C+Ad^2}\qquad\left(d^2=d_1^2+d_2^2\right)$$
- 起點必須是形心軸：推導時用到 \(\int_A y\,dA=0\)，只有 x 軸通過形心才成立。兩條都不過形心的平行軸之間，不能直接加減 \(Ad^2\)，要先換算回形心軸。
- \(Ad^2\ge 0\)，所以在所有互相平行的軸中，形心軸的慣性矩最小。
原圖對照（平行軸定理）
例題：T 形截面 Example
已知 \(C\) 為截面形心，求 (a) 形心高度 \(h_C\)；(b) 對 c–c 軸的面積慣性矩 \(I_{cc}\)。
解：把截面拆成腹板 \(A_1=b_1h_1\)與翼板 \(A_2=b_2h_2\)，各自的形心 \(C_1\)、\(C_2\) 都在對稱軸上。
(a) 對底邊取一次矩：
$$h_C=\frac{\textcolor{#4ade80}{b_1h_1}\cdot\dfrac{h_1}{2}+\textcolor{#facc15}{b_2h_2}\left(h_1+\dfrac{h_2}{2}\right)}{\textcolor{#4ade80}{b_1h_1}+\textcolor{#facc15}{b_2h_2}}$$(b) 兩塊各自對自己的形心軸，再用平行軸定理移到 c–c 軸：
$$I_{cc}=\textcolor{#4ade80}{\frac{b_1h_1^3}{12}+A_1d_1^2}+\textcolor{#facc15}{\frac{b_2h_2^3}{12}+A_2d_2^2}$$其中 \(d_1=h_C-\dfrac{h_1}{2}\)、\(d_2=h_1+\dfrac{h_2}{2}-h_C\)。
補充：代入數值 \(b_1=20\)、\(h_1=80\)、\(b_2=100\)、\(h_2=20\)（mm）
$$A_1=1600,\quad A_2=2000\ \text{mm}^2,\qquad h_C=\frac{1600(40)+2000(90)}{3600}=67.78\ \text{mm}$$
$$d_1=27.78,\quad d_2=22.22\ \text{mm}$$
$$I_{cc}=853{,}333+1{,}234{,}568+66{,}667+987{,}654=3.142\times10^{6}\ \text{mm}^4$$
平行軸項 \(Ad^2\) 約佔七成：截面的材料離形心軸越遠，貢獻越大，這正是 I 形梁把材料集中在上下翼板的原因。
原圖對照（例題）
補充 Notes
- 名稱與單位：本章的 \(I\)、\(J\) 是面積慣性矩，也稱截面二次矩（Second moment of area），單位是長度的四次方（mm⁴、m⁴）。它和動力學中的質量慣性矩（Mass moment of inertia，kg·m²）是不同的量。
- 迴轉半徑（Radius of gyration）：\(k=\sqrt{I/A}\)，把整個面積集中在離軸 \(k\) 處時有相同的 \(I\)。上面的例題 \(k=\sqrt{3.142\times10^6/3600}=29.5\) mm，柱的挫屈計算會用到。
- 慣性積的平行軸定理：\(I_{XY}=I_{xy}+A\,d_1d_2\)。這裡的 \(d_1\)、\(d_2\) 是形心在 X–Y 座標中的位置，要帶正負號。
- 空心圓（傳動軸常用）：外徑 \(D\)、內徑 \(d\)， $$J=\frac{\pi\left(D^4-d^4\right)}{32},\qquad I=\frac{\pi\left(D^4-d^4\right)}{64}$$ 也可以看成「大圓減小圓」：組合截面中的挖孔，就當成負面積來疊加。