軸Shafts

軸是傳遞扭矩與旋轉運動的機件，通常同時承受扭矩（傳動）與彎矩、剪力（齒輪、皮帶輪、軸承的力）。設計時先求各斷面的內力，再依應力、變形（扭轉角）、疲勞、臨界轉速等條件決定直徑。

基本理論 Basic Theory

圓軸扭轉的剪應力與扭轉角，以及梁的彎曲應力與橫向剪應力，已在第 4 章說明：扭轉、彎曲、直接剪力與橫向剪應力。本章常用的實心圓軸公式：

$$\sigma=\frac{Mc}{I}=\frac{32M}{\pi d^3},\qquad \tau=\frac{Tr}{J}=\frac{16T}{\pi d^3},\qquad \tau_V=\frac43\frac VA,\qquad \phi=\frac{TL}{GJ},\qquad J=\frac{\pi d^4}{32}$$

例：軸上兩點的應力元素 Example: Stress Elements

軸不旋轉、負載固定，兩端視為簡支。(a) 畫出軸底面 A 點的應力元素並標出應力值；(b) 對軸心高度的 B 點做同樣的事。
The shaft does not rotate, the loads are steady. Assume simple supports. (a) Make a sketch for the element at A on the bottom surface of the shaft and show the values of the stresses. (b) Do the same for the element at the elevation of the shaft axis.

A 點（負載正下方、底面）：彎矩最大 $M=3500$ in·lb，底面受拉；底面離中性軸最遠，橫向剪應力為 0。

$$\sigma=\frac{My}{I},\quad I=\frac{\pi d^4}{64},\quad y=\frac d2\ \Rightarrow\ \sigma=\frac{32M}{\pi d^3}=\frac{32(3500)}{\pi\cdot2^3}=4460\ \text{psi}$$ $$\tau=\frac{Tr}{J},\quad J=\frac{\pi d^4}{32},\quad r=\frac d2\ \Rightarrow\ \tau=\frac{16T}{\pi d^3}=\frac{16(9000)}{\pi\cdot2^3}=5730\ \text{psi}$$

B 點（軸心高度的側面）：位在中性軸上，彎曲應力 $\sigma=0$；扭轉剪應力同樣是 5730 psi，再加上剪力 $V=1000$ lb 造成的最大橫向剪應力（圓斷面的中性軸處）：

$$\tau_V=\frac43\cdot\frac VA=\frac43\cdot\frac{1000}{\pi\cdot1^2}=420\ \text{psi},\qquad \tau_B=5730+420=6150\ \text{psi}$$

補充：兩點哪一點較危險？　A 點有正向應力也有剪應力，要用破壞理論合成： $$\tau_{max,A}=\sqrt{\left(\frac{4460}{2}\right)^2+5730^2}=6150\ \text{psi},\qquad \sigma'_A=\sqrt{4460^2+3(5730)^2}=10\,880\ \text{psi}$$ $$\tau_{max,B}=6150\ \text{psi},\qquad \sigma'_B=\sqrt3\,(6150)=10\,650\ \text{psi}$$

兩點的最大剪應力幾乎相同；以 von Mises 看 A 點略高。一般軸的直徑由彎矩最大處的表面（A 點）決定，橫向剪應力 $\tau_V$ 很小，只有短而粗、受大集中力的軸才需要檢查 B 點。

原圖對照（應力元素）

例：空心軸 Example: Hollow Shaft

空心軸要在剪應力 55 MPa 下傳遞 34 000 000 N·mm 的扭矩，內徑為外徑的 0.65 倍，求外徑。
A hollow shaft must carry a torque of 34,000,000 Nmm at a shearing stress of 55 MPa. The inside diameter is to be 0.65 of the outside diameter. Find the value of the outside diameter.

$$\text{已知：}\ T=34\,000\,000\ \text{N·mm},\quad \tau_{max}=55\ \text{MPa},\quad d_i=0.65\,d_o\qquad \text{求：}\ d_o$$ $$\tau_{max}=\frac{T\,r_{max}}{J},\qquad r_{max}=\frac{d_o}{2},\qquad J=\frac{\pi}{32}\left(d_o^4-d_i^4\right)=\frac{\pi}{32}\left(1-0.65^4\right)d_o^4=0.08065\,d_o^4$$ $$55=\frac{34\,000\,000\cdot d_o/2}{0.08065\,d_o^4}\ \Rightarrow\ d_o^3=\frac{34\,000\,000}{2(55)(0.08065)}=3\,832\,500\ \Rightarrow\ d_o=156.5\ \text{mm}$$

編註：原講義算出 $J=0.0865\,d_o^4$、$d_o^3=383\,250$、$d_o=72.63$ mm。係數應為 0.08065（原文的 0.0865 疑為漏了一個 0 的筆誤），而 383 250 恰好是用係數 0.08065 與 $T=3\,400\,000$ N·mm（題目數值的 1/10）算出的結果，所以 72.63 mm 對應的是 3 400 000 N·mm；依題目的 34 000 000 N·mm，外徑為 156.5 mm。

補充：同樣扭矩與剪應力下，實心軸需 $d=\sqrt[3]{16T/\pi\tau}=146.6$ mm。空心軸外徑大一些，斷面積卻只有實心軸的 66%（輕 34%）——中心附近的材料應力低、貢獻小，挖掉很划算。

原圖對照（空心軸）

例：扭轉角限制 Example: Angle of Twist

規定軸在 1800 mm 長度內的扭轉角不得超過 1°，容許剪應力 83 MPa，材料剪力彈性係數 77 000 MPa，求軸徑。
Suppose it is specified that the angular deformation in a shaft should not exceed 1 degree in a length of 1800 mm. The permissible shearing stress is 83 MPa. Find the diameter of the shaft. The material has a shear modulus of 77,000 MPa.

$$L=1800\ \text{mm},\quad \phi=1^\circ=\frac{\pi}{180}=0.01745\ \text{rad},\quad \tau_{max}=83\ \text{MPa},\quad G=77\,000\ \text{MPa}$$ $$\tau=\frac{Tr}{J},\qquad \phi=\frac{TL}{GJ}\qquad\Rightarrow\qquad \frac{\tau}{\phi}=\frac{rG}{L}$$ $$r=\frac{\tau L}{G\phi}=\frac{83\times1800}{77\,000\times0.01745}=111.2\ \text{mm},\qquad d=222.4\ \text{mm}$$

補充：題目沒有給扭矩，所以求出的是「剪應力與扭轉角同時達到上限」的直徑，此時扭矩 $T=\tau\pi d^3/16\approx1.79\times10^8$ N·mm。比值 $\tau/\phi=rG/L$ 只和半徑有關：直徑小於 222.4 mm 時，扭轉角先達到上限（由剛性控制）；大於時剪應力先達到上限（由強度控制）。實際設計時兩個條件各算一個直徑，取較大者。

原圖對照（扭轉角）

例：兩端固定的軸 Example: Statically Indeterminate Torsion

軸在圖示位置承受 10 000 in·lb 的扭矩，兩端固定不能轉動，求兩端的反力扭矩 $T_1$、$T_2$。
The shaft carries the torque of 10,000 in·lb at the location shown. If the ends of the shaft are fixed against rotation, find the values of the torque reactions T₁ and T₂.

只有一個平衡方程式、兩個未知數（靜不定），需要加上變形諧和條件：B 點相對 A 端與相對 C 端的轉角必須相同。

$$T_1+T_2=T=10\,000\ \text{in·lb}$$ $$\phi=\frac{TL}{GJ}\ \Rightarrow\ \phi_1=\frac{T_1L_1}{GJ},\quad \phi_2=\frac{T_2L_2}{GJ};\qquad \phi_1=\phi_2\ \Rightarrow\ T_1L_1=T_2L_2\ \Rightarrow\ 15\,T_1=24\,T_2$$ $$T_1=\frac{24}{39}(10\,000)=6154\ \text{in·lb},\qquad T_2=\frac{15}{39}(10\,000)=3846\ \text{in·lb}$$

編註：原講義寫 $T_1=6254$，與 $T_2$ 相加不等於 10 000，應為 6154。補充：扭矩由較短（較硬）的一段分擔較多，和並聯彈簧依勁度分配負載相同。

原圖對照（靜不定扭轉）

本章子頁：旋轉軸的疲勞設計與傳遞功率、非圓斷面的扭轉、臨界轉速、兩平面彎曲與三支承軸、鍵、聯軸器。

資料來源：原課程網頁 myCourse/courses/MachineDesign/shaft/shaft.htm（Microsoft FrontPage）；2026-10-31 重建為獨立網站，原圖中的數學式改以 LaTeX 重寫、示意圖以 SVG 重繪，原圖收在各節「原圖對照」；標示「補充」者為新增內容。剪力、彎矩圖由平衡方程式數值求解後自動繪製（beamfig.py）。