直接剪力與橫向剪應力Direct Shear and Transverse Shear
本節分兩部分：(1) 螺栓、銷、鉚釘被「剪斷」的直接剪力，用平均值 \(\tau=F/A_s\) 計算；(2) 梁受剪力 \(V\) 時截面上的橫向剪應力分佈 \(\tau=VQ/Ib\)，它不是均勻的。
直接剪力 Direct Shear
$$\boxed{\tau=\frac{F}{A_s}}\qquad A_s:\ \text{剪斷面面積（單剪 }1\times\tfrac{\pi d^2}{4}\text{；雙剪 }2\times\tfrac{\pi d^2}{4}\text{）}$$
- 這是剪斷面上的平均剪應力。實際上圓形截面的剪應力中間較大（見下面的 \(\tfrac43\tau_{av}\)），設計時以較保守的容許剪應力搭配平均值使用。
- 同樣的負載，雙剪接頭每個剪斷面只承受一半，剪應力減半，所以重要的銷接頭多做成叉頭（clevis）形式。
- 螺栓接頭可能的剪斷位置（原圖的①②③）：① 兩板交界處的螺栓桿身被剪斷；② 螺栓的螺紋被剝牙；③ 螺帽的螺紋被剝牙。後兩者的剪斷面是螺紋圓柱面，在螺紋那一章計算。
補充例題 直徑 \(d=12\) mm 的螺栓承受 \(P=10\) kN：
$$A=\frac{\pi(12)^2}{4}=113.1\ \text{mm}^2,\qquad \text{單剪 }\tau=\frac{10\,000}{113.1}=88.4\ \text{MPa},\qquad \text{雙剪 }\tau=44.2\ \text{MPa}$$
原圖對照（直接剪力）
梁的橫向剪應力 Transverse Shear in Beams
梁截面上的內力可以分成軸力 \(P\)、彎矩 \(M\)、剪力 \(V\)：\(P\) 產生 \(\sigma=P/A\)，\(M\) 產生 \(\sigma=My/I\)（4.5 彎曲），\(V\) 產生的就是本節的剪應力。
推導 Derivation
取長 \(dx\) 的微元，從離中性軸 \(y'\) 處水平切開，看切線以下的部分（面積 \(A'\)）。兩側的彎曲應力因 \(M\) 與 \(M+dM\) 而不同，差額要靠切面上的剪應力 \(\tau\)（寬 \(b\)）平衡：
$$\tau\,b\,dx+\int_{A'}\frac{My}{I}\,dA=\int_{A'}\frac{(M+dM)\,y}{I}\,dA$$ $$\tau=\frac{1}{b}\int_{A'}\frac{dM}{dx}\,\frac{y}{I}\,dA,\qquad \frac{dM}{dx}=V$$ $$\Rightarrow\ \boxed{\tau=\frac{VQ}{Ib}},\qquad Q=\int_{A'}y\,dA=A'\,\bar y'$$- \(Q\)：切線以外那塊面積 \(A'\) 對中性軸的一次矩（\(\bar y'\) 為 \(A'\) 的形心到中性軸的距離）；\(b\)：切線處的截面寬度。
- 取切線以上或以下的面積算 \(Q\)，大小相同、正負相反（整個截面對中性軸的一次矩為 0）。
- 互補剪應力：水平切面上的 \(\tau\) 與截面上同一點的垂直剪應力大小相等，所以 \(\tau=VQ/Ib\) 也是截面上該高度的剪應力。
原圖對照（推導）
矩形截面 Rectangular Section
$$I=\frac{bh^3}{12}=\frac{b(2c)^3}{12}=\frac23bc^3,\qquad A'=b(c-y),\qquad \bar y'=\frac12(c+y),\qquad Q=A'\bar y'=\frac12b\left(c^2-y^2\right)$$
$$\tau=\frac{VQ}{Ib}=\frac{V\cdot\frac12b(c^2-y^2)}{\frac23bc^3\cdot b}=\frac34\,\frac{V}{bc}\,\frac{c^2-y^2}{c^2}=\frac32\,\frac VA\left(1-\frac{y^2}{c^2}\right)=\boxed{\frac32\,\tau_{av}\left(1-\frac{y^2}{c^2}\right)}$$
$$y=0:\ \tau_{max}=\frac32\,\tau_{av}\qquad\qquad y=\pm c:\ \tau=0$$
上下表面是自由面，沒有剪應力，由互補剪應力可知截面頂底的 \(\tau=0\)；剪應力最大在中性軸，正好是彎曲應力為 0 的地方。
原圖對照（矩形截面）
圓形截面 Circular Section
補充推導（原講義只給結果）：在離中性軸 \(y\) 處
$$Q=\frac23\left(r^2-y^2\right)^{3/2},\qquad b=2\sqrt{r^2-y^2},\qquad I=\frac{\pi r^4}{4}$$ $$\tau=\frac{VQ}{Ib}=\frac{4V}{3\pi r^4}\left(r^2-y^2\right)=\frac43\,\frac VA\left(1-\frac{y^2}{r^2}\right)$$ $$\Rightarrow\ \tau_{max}=\frac43\,\tau_{av}\quad(y=0)$$所以前面直接剪力的平均值 \(F/A_s\) 會低估圓銷中心的剪應力約 33%。
原圖對照（圓形截面）
補充 Notes
補充例題 矩形梁 \(b=40\) mm、\(h=120\) mm，某截面剪力 \(V=30\) kN：
$$\tau_{av}=\frac{30\,000}{40(120)}=6.25\ \text{MPa},\qquad \tau_{max}=\frac32(6.25)=9.375\ \text{MPa}$$
在中性軸下方 \(y=c/2=30\) mm 處：\(\tau=\tfrac32(6.25)\left(1-\tfrac14\right)=7.03\) MPa。
- 剪應力通常比彎曲應力小很多：長 \(L\) 的矩形懸臂梁端點受 \(P\)，\(\sigma_{max}=\dfrac{6PL}{bh^2}\)、\(\tau_{max}=\dfrac{3P}{2bh}\)，兩者之比 \(\tau_{max}/\sigma_{max}=h/4L\)。細長梁（\(L\gg h\)）的剪應力常可忽略；短而深的梁、木材（順紋抗剪弱）與薄腹板的 I 形梁則必須檢查。
- 適用條件：假設剪應力沿寬度 \(b\) 均勻分佈，對窄的矩形或圓形截面相當準確；寬翼板截面誤差較大。
- I 形梁的剪力幾乎全由腹板承受，可近似為 \(\tau\approx V/A_{web}\)。