拉伸與壓縮Tension and Compression
軸向應力 Axial Stress
假設應力 \(\sigma\) 在截面上均勻分佈：
$$P=\int_A\sigma\,dA=\sigma\int_A dA=\sigma A\ \Rightarrow\ \boxed{\sigma=\frac PA}$$均勻應力對 y、z 軸不能產生力矩，所以：
$$\int_A y\,\sigma\,dA=\sigma\!\int_A y\,dA=0,\qquad \int_A z\,\sigma\,dA=\sigma\!\int_A z\,dA=0$$⇒ \(\int_A y\,dA=\int_A z\,dA=0\)：P 的作用線必須通過截面形心 O（第 2 章）。
- 從桿中取出一個小方塊，它只受一對方向相反的 \(\sigma\)，稱為單軸應力（Uniaxial stress）狀態。
- 若負載偏離形心，就會同時產生彎曲應力（見 4.5 彎曲的綜合例題）。
壓縮 Compression
壓縮時公式相同 \(\sigma=F/A\)，只是方向相反（壓為負）。細長桿受壓還必須檢查挫屈（Buckling），那時的強度不再由 \(F/A\) 決定。
原圖對照（軸向應力）
軸向變形 Axial Deflection
應力的定義：
$$\sigma=\frac PA$$應變的定義：
$$\varepsilon=\frac{\delta}{L}$$虎克定律：
$$\sigma=E\varepsilon$$聯立解出伸長量：
$$\boxed{\delta=\frac{PL}{AE}}$$\(AE/L\) 是桿件的軸向勁度（彈簧常數 \(k=P/\delta\)）：截面越大、材料越硬、長度越短，越不容易伸長。
原圖對照（軸向變形）
補充 Notes
補充例題 鋼棒直徑 \(d=20\) mm、長 \(L=2\) m，受拉力 \(P=50\) kN，\(E=200\) GPa、\(\nu=0.3\)：
$$A=\frac{\pi(20)^2}{4}=314.2\ \text{mm}^2,\qquad \sigma=\frac{50\,000}{314.2}=159.2\ \text{MPa}$$
$$\varepsilon=\frac{159.2}{200\,000}=7.96\times10^{-4},\qquad \delta=\frac{PL}{AE}=\frac{50\,000(2000)}{314.2(200\,000)}=1.592\ \text{mm}$$
直徑方向的應變為 \(-\nu\varepsilon\)，直徑縮小 \(\nu\varepsilon d=0.0048\) mm。
- 蒲松比（Poisson's ratio）\(\nu\)：拉長時橫向會變細，\(\varepsilon_{lat}=-\nu\,\varepsilon\)；鋼約 0.3、鋁約 0.33。
- 分段桿件：各段的 \(P\)、\(A\)、\(E\) 不同時，分段相加 \(\delta=\sum\dfrac{P_iL_i}{A_iE_i}\)。例如上例改成前 1 m 直徑 20 mm、後 1 m 直徑 30 mm，\(\delta=0.796+0.354=1.15\) mm。
- 適用條件：線彈性（應力低於比例限度）、截面均勻、負載通過形心，並且離施力點、孔、截面突變處有一段距離（聖維南原理，Saint-Venant's principle）。截面突變處會有應力集中，實際應力高於 \(P/A\)。