機械設計 Machine Design

剪力與彎矩圖Shear and Moment Diagrams

梁上各截面的剪力 \(V\) 與彎矩 \(M\) 隨位置變化，畫成圖就能一眼找出最危險的截面（\(|M|\) 最大處），作為後面計算彎曲應力 \(\sigma = My/I\) 的依據。本頁所有剪力圖、彎矩圖都由平衡方程式數值求解後繪製，並與公式交叉驗證。

符號規則 Sign Convention

VM VM VM VM 正（＋）剪力與彎矩負（−）剪力與彎矩 正剪力：右側相對往下錯動負剪力：右側相對往上錯動 正彎矩：下凹（笑臉）負彎矩：上凸（哭臉）
原圖對照（符號規則）
剪力與彎矩圖
剪力與彎矩圖
剪力與彎矩圖

截面法 Method of Sections

求梁上某一點 C 的內力：先由整根梁的平衡求反力，再在 C 點「切開」，取任一段為自由體，列 \(\sum F_y=0\)、\(\sum M_C=0\)。

FF/43F/4CL/4L/2L/4
F/4VC​MC​L/4F3F/4VC​MC​L/2L/4

左段（較簡單）：

$$\sum F_y=0:\ \frac F4-V_C=0\ \Rightarrow\ V_C=\frac F4,\qquad \sum M_C=0:\ M_C-\frac F4\cdot\frac L4=0\ \Rightarrow\ M_C=\frac{FL}{16}$$

右段（驗算）：

$$V_C-F+\frac{3F}{4}=0\ \Rightarrow\ V_C=\frac F4,\qquad M_C=\frac{3F}{4}\cdot\frac{3L}{4}-F\cdot\frac L2=\frac{FL}{16}$$

補充：原講義只畫了兩段的自由體圖；上面補上計算。左右兩段結果相同，可用來驗算。

原圖對照（截面法）
剪力與彎矩圖

例：集中力作用在 2L/3 的簡支梁

反力：\(R_A=\dfrac F3\)、\(R_B=\dfrac{2F}{3}\)。在兩個區間各取一個任意位置 \(x\) 切開，取左段：

F/3VMxFF/3VM2L/3
$$0 FF/32F/32L/3L/3xVF/3−2F/3xM2FL/9
$$V=\begin{cases}\ \ \tfrac13F & 0
原圖對照（例題）
剪力與彎矩圖
剪力與彎矩圖

負載、剪力與彎矩的關係 Load–Shear–Moment Relations

w V M V + dV M + dM A B dx

取長 \(dx\) 的微元，所有內力都畫成正方向：

$$\sum F_y=0:\quad V-(V+dV)-w\,dx=0\ \Rightarrow\ \boxed{\frac{dV}{dx}=-w}$$ $$\sum M_B=0:\quad (M+dM)-M-V\,dx+w\,dx\cdot\frac{dx}{2}=0$$ $$\Rightarrow\ \frac{dM}{dx}=V-\frac{w\,dx}{2}\ \xrightarrow{dx\to0}\ \boxed{\frac{dM}{dx}=V}$$

編註：原講義對 A 點取矩，寫法略有不同（\(w\,dx\cdot dx/2\) 的正負與 \(dV\,dx\) 項）；這些都是 \(dx^2\) 的二階小量，取極限後消失，結論相同。

兩式積分，就得到畫圖最常用的面積法：

$$V(x_2)=V(x_1)-\int_{x_1}^{x_2}w\,dx\qquad(\text{剪力的變化量}=-\text{負載圖面積})$$ $$M(x_2)=M(x_1)+\int_{x_1}^{x_2}V\,dx\qquad(\text{彎矩的變化量}=\text{剪力圖面積})$$

集中力與集中力偶

  • 集中力 \(P\)（向下）：微元寬度趨近 0 時 \(w\,dx\) 變成 \(P\)，剪力瞬間往下跳 \(P\)（右側為 \(V-P\)）；彎矩連續，只是斜率改變（折角）。
  • 集中力偶 \(M_0\)：剪力不變；彎矩瞬間跳 \(M_0\)。逆時針力偶使右側變成 \(M-M_0\)（往下跳），順時針力偶則往上跳。
負載情形剪力圖 \(V\)彎矩圖 \(M\)
無負載段水平線斜直線（斜率 \(=V\)）
均佈負載 \(w\)斜直線（斜率 \(=-w\)）拋物線
線性（三角形）分佈負載拋物線三次曲線
集中力 \(P\)跳 \(-P\)連續、出現折角
集中力偶 \(M_0\)不變跳 \(\mp M_0\)（逆時針往下）
\(V=0\) 處—極值（\(dM/dx=0\)）
原圖對照（微元關係）
剪力與彎矩圖
剪力與彎矩圖
剪力與彎矩圖
剪力與彎矩圖

例：集中負載外伸梁（面積法）

20 kN40 kN46 kN14 kNABCD2.5 m3 m2 mxV−20 kN+26 kN−14 kNxM−50 kN·m+28 kN·m
$$R_B=46\ \text{kN},\quad R_D=14\ \text{kN}\qquad(\textstyle\sum M_B=0:\ 20(2.5)-40(3)+R_D(5)=0)$$ $$M_B=0+(-20)(2.5)=-50,\qquad M_C=-50+26(3)=+28,\qquad M_D=28+(-14)(2)=0\ \ \text{kN·m}$$

剪力圖每段都是水平線，所以彎矩圖每段都是直線；只要依序累加剪力圖面積，就能直接畫出彎矩圖，最後回到 \(M_D=0\) 可當作驗算。

原圖對照
剪力與彎矩圖

分佈負載的合力 Resultant of a Distributed Load

w(x) x dx x̄ P = ∫w dx x* = x̄
$$P=\int w\,dx\qquad(\text{合力}=\text{負載圖的面積})$$ $$P\,x^*=\int x\,w\,dx\ \Rightarrow\ x^*=\frac{\int x\,w\,dx}{\int w\,dx}=\bar x$$

合力通過負載圖面積的形心（第 2 章的形心公式，把 \(dA\) 換成 \(w\,dx\)）。

常用：均佈 \(w\) 長 \(L\) → \(P=wL\) 在中點；三角形 \(0\to w_0\) → \(P=\tfrac12 w_0L\) 在離零端 \(\tfrac23L\) 處。

原圖對照
剪力與彎矩圖

常見梁的剪力圖與彎矩圖 Examples

1. 全跨均佈負載的簡支梁

wwL/2VMx

\(R_A=R_B=\dfrac12wL\)；取長 \(x\) 的左段，負載合力 \(wx\) 作用在 \(x/2\)：

$$\sum F_y=0:\ \frac{wL}{2}-wx-V=0\Rightarrow\boxed{V=\frac{wL}{2}-wx}$$ $$\sum M_C=0:\ M+wx\cdot\frac x2-\frac{wL}{2}x=0\Rightarrow\boxed{M=\frac{wLx}{2}-\frac{wx^2}{2}}$$
wRA​ = wL/2RB​ = wL/2LxVwL/2−wL/2xMwL²/8

\(V=0\) 在中點 \(x=L/2\)，此處 \(M_{max}=\dfrac{wL^2}{8}\)。

2. 部分均佈負載的簡支梁

qRA​RB​abcxVRA​−RB​0xMMmax​
  • 無負載的 \(a\)、\(c\) 段：剪力是常數、彎矩是直線；有負載的 \(b\) 段：剪力是斜線、彎矩是拋物線。
  • 最大彎矩出現在 \(V=0\) 的 \(x_1\) 處（在負載段內）。
補充：公式 $$R_A=\frac{qb}{L}\left(c+\frac b2\right),\qquad R_B=\frac{qb}{L}\left(a+\frac b2\right)$$ $$V(x_1)=R_A-q(x_1-a)=0\ \Rightarrow\ x_1=a+\frac{R_A}{q},\qquad M_{max}=R_A\,x_1-\frac q2\left(x_1-a\right)^2=R_A\left(a+\frac{R_A}{2q}\right)$$

3. 均佈負載的懸臂梁

qRB​ = qLMB​LxV−qLxM−qL²/2
$$V=-qx,\qquad M=-\frac{qx^2}{2},\qquad R_B=qL,\qquad |M_B|=\frac{qL^2}{2}$$

懸臂梁從自由端取自由體就不必先求反力。整根梁的彎矩都是負值（上凸），最大值在固定端。

4. 外伸梁加集中力偶

q = 1.0 k/ftM0​ = 12 k-ftRB​ = 5.25 kRC​ = 1.25 k4 ft8 ft8 ftxV−4.0 k+1.25 kxM−8.0 k-ft+2.0 k-ft−10.0 k-ft
$$\sum M_B=0:\ 4(2)+12+R_C(16)=0\ \Rightarrow\ R_C=-1.25\ \text{k（向下）},\qquad R_B=4+1.25=5.25\ \text{k}$$ $$M_B=-4(2)=-8.0,\qquad M_{0^-}=-8+1.25(8)=+2.0,\qquad M_{0^+}=2-12=-10.0,\qquad M_C=-10+1.25(8)=0\ \ \text{k-ft}$$

逆時針集中力偶 \(M_0=12\) k-ft 讓彎矩從 +2.0 往下跳到 −10.0，但剪力不受影響。

5. 三角形分佈負載的簡支梁

三角形負載合力 \(\tfrac12(6)(60)=180\) N，作用在離 A 點 \(\tfrac23(6)=4\) m 處，得 \(A_y=120\) N、\(D_y=60\) N。求 B、C 兩點的內力：

30 N/m120 NVB​MB​3 m60 NVC​MC​3 m

B 點（左段，0–3 m 的負載合力 \(\tfrac12(3)(30)=45\) N，作用在 \(\tfrac23(3)=2\) m）：

$$V_B=120-45=75\ \text{N},\qquad M_B=120(3)-45(1)=315\ \text{N·m}$$

C 點（右段，只有 \(D_y\)）：

$$V_C=-60\ \text{N},\qquad M_C=60(3)=180\ \text{N·m}$$
60 N/mAy​ = 120 NDy​ = 60 NBC3 m3 m3 m3 mxV120 N75 N0−60 NxM315391.9 N·m180
補充：完整的剪力、彎矩式（原講義只畫到自由體圖） $$0\le x\le6:\quad w=10x,\qquad V=120-5x^2,\qquad M=120x-\frac{5x^3}{3}$$ $$6\le x\le12:\quad V=-60,\qquad M=720-60x$$ $$V=0\ \Rightarrow\ x=\sqrt{24}=4.90\ \text{m},\qquad M_{max}=120(4.90)-\frac53(4.90)^3=391.9\ \text{N·m}$$
原圖對照（常見梁、三角形負載）
剪力與彎矩圖
剪力與彎矩圖
剪力與彎矩圖
剪力與彎矩圖
剪力與彎矩圖
剪力與彎矩圖

補充：畫剪力圖與彎矩圖的步驟 Procedure

  1. 畫整根梁的自由體圖，用 \(\sum F_y=0\)、\(\sum M=0\) 求所有反力（懸臂梁可從自由端開始而省略此步）。
  2. 在每個集中力、力偶、支承點與分佈負載的起訖點分段。
  3. 剪力圖：從左端 \(V=0\) 開始，遇集中力就跳、遇分佈負載就依 \(dV/dx=-w\) 變化；畫到右端應回到 0（驗算）。
  4. 彎矩圖：從左端（簡支或自由端）\(M=0\) 開始，依序累加剪力圖面積；遇力偶就跳；畫到右端應回到 0 或固定端彎矩。
  5. 標出 \(V=0\) 處的 \(M\) 極值、各分段點的數值；設計時取 \(|M|_{max}\)。