彈簧Springs

彈簧靠材料的彈性變形儲存能量：受力時變形、卸載後回復。機械中最常見的是用圓線繞成的螺旋彈簧（壓縮、拉伸、扭轉），其他還有汽車懸吊的板片彈簧、小空間承受大力的碟形（Belleville）彈簧，以及做為緩衝的橡膠彈簧。本頁先談螺旋壓縮彈簧的應力、撓度與靜負載設計。（補充說明）

本章各頁：螺旋彈簧（本頁）、螺旋彈簧的設計、扭轉彈簧、彈簧的應用：機槍、板片彈簧、碟形彈簧、橡膠彈簧。

線材的剪應力 Stresses in the Wire

壓縮彈簧兩端受軸向力 $P$。沿線材任一處切開，取上半段的自由體：力 $P$ 作用在彈簧軸線上，與截面相距平均半徑 $R$，所以截面上有扭矩 $T=PR$ 與直接剪力 $P$。扭矩產生的剪應力在線材表面最大：

$$\tau_T=\frac{Tr}{J},\qquad T=PR,\quad r=\frac d2,\quad J=\frac{\pi d^4}{32}\ \Longrightarrow\ \tau_{T\,max}=\frac{16PR}{\pi d^3}$$

定義彈簧指數（spring index）

$$c=\frac{2R}d=\frac Dd$$

把直接剪應力視為均勻分布，$\tau_P=P/A=4P/\pi d^2$。在線圈內側（靠彈簧軸線那一側）兩者同向相加：

$$\tau_{max}=\tau_{T\,max}+\tau_P=\frac{16PR}{\pi d^3}+\frac{4P}{\pi d^2}=\frac{16PR}{\pi d^3}\left(1+\frac d{4R}\right)=\frac{16PR}{\pi d^3}\left(1+\frac{0.5}c\right)$$

直接剪應力其實不是均勻分布，較精確的分析把係數 0.5 改為 0.615。原講義靜負載設計用的公式是

$$\tau_{max}=K_s\frac{16PR}{\pi d^3},\qquad K_s=1+\frac{0.615}c$$

線材彎成圓圈後，內側纖維比外側短，同樣的扭轉角在內側造成較大的剪應變，所以剪應力往內側再增加（上圖 (d)）。這個曲率效應在靜負載下會因局部降伏而重新分配，影響不大；但在變動負載下是疲勞裂紋的起點，必須計入。（補充）

補充：Wahl 係數 $K_W=\dfrac{4c-1}{4c-4}+\dfrac{0.615}c$ 同時包含直接剪應力與曲率效應，約等於 $K_cK_s$，$K_c=\dfrac{4c-1}{4c-4}$ 為曲率係數（用在變動負載的設計）。$c$ 越小（線圈繞得越緊），修正越大；一般彈簧取 $c$ 在 4～12 之間，太小不好繞製，太大則容易挫曲或纏結。

原圖對照（線材剪應力）

撓度與彈簧常數 Deflection and Spring Rate

把彈簧拉直，相當於一根長 $l$ 的扭轉桿，兩端各接一支長 $R$ 的曲柄。長 $dl$ 的一段扭轉 $d\phi$，使力 $P$ 的作用點移動 $R\,d\phi$：

$$d\phi=\frac T{GJ}dl=\frac{PR}{GJ}dl,\qquad d\delta=R\,d\phi=\frac{PR^2}{GJ}dl,\qquad \delta=\int_0^l\frac{PR^2}{GJ}dl=\frac{PR^2}{GJ}l$$ $$l=2\pi RN_c,\quad J=\frac{\pi d^4}{32}\ \Longrightarrow\ \delta=\frac{64PR^3N_c}{Gd^4}$$

$N_c$ 為有效圈數；鋼的剪力彈性係數 $G=11\,500\,000$ psi $=79\,300$ MPa。彈簧常數（spring rate）為

$$k=\frac P\delta=\frac{Gd^4}{64R^3N_c}$$

載重與撓度成正比，所以 $k=\dfrac{P_1}{\delta_1}=\dfrac{P_2}{\delta_2}=\dfrac{P_2-P_1}{\delta_2-\delta_1}$。補充：以彈簧指數表示，$\delta=\dfrac{8Pc^3N_c}{Gd}$，$c$ 大一點，彈簧就軟很多。

原圖對照（撓度）

端部與有效圈數 End Coils

兩端的線圈貼著座面，不參與變形。總圈數 $N$ 減去無效圈數 $Q$ 才是有效圈數：

$$N_c=N-Q$$

平端 $Q=0$、平端研磨 $Q=1$、並緊（squared）與並緊研磨都是 $Q=2$。並緊研磨的彈簧兩端平整，受力最均勻，壓縮彈簧最常用。線材總長 $l=2\pi RN$，截面積 $A=\pi d^2/4$，材料體積為

$$V=lA=\frac12\pi^2d^2R\left(N_c+Q\right)$$

原圖對照（端部與體積）

彈簧線材 Spring Wire

Table 4-1　鋼質彈簧線的最小抗拉強度 $\sigma_{ult}$（psi）與 ASTM 編號：

W&M 線規	線徑 d（in）	硬拉 Class 1 A227-93	琴鋼線 A228-93	油回火 Class 1 A229-93	302 不鏽鋼 Class 1 A313-92
25	0.0204	283,000	350,000	293,000	296,000
24	0.0230	279,000	343,000	289,000	292,000
23	0.0258	275,000	337,000	286,000	291,000
22	0.0286	271,000	332,000	283,000	285,000
21	0.0317	266,000	327,000	280,000	282,000
20	0.0348	261,000	323,000	274,000	280,000
19	0.0410	255,000	314,000	266,000	275,000
18	0.0475	248,000	306,000	259,000	267,000
17	0.0540	243,000	301,000	253,000	265,000
16	0.0625	237,000	293,000	247,000	258,000
15	0.0720	232,000	287,000	241,000	250,000
14	0.0800	227,000	282,000	235,000	246,000
13	0.0915	220,000	275,000	230,000	238,000
12	0.1055	216,000	269,000	225,000	227,000
11	0.1205	210,000	263,000	220,000	222,000
10	0.1350	206,000	258,000	215,000	217,000
9	0.1483	203,000	253,000	210,000	205,000
8	0.1620	200,000	249,000	205,000	198,000
7	0.1770	195,000	245,000	200,000	194,000
6	0.1920	192,000	241,000	195,000	188,000
5	0.2070	190,000	238,000	190,000	182,000
4	0.2253	186,000	235,000	188,000	175,000
1/4 in.	0.2500	182,000	230,000	185,000	168,000
5/16 in.	0.3125	174,000		183,000	155,000
3/8 in.	0.3750	167,000		180,000	145,000

線規為 Washburn & Moen 規格；琴鋼線與不鏽鋼的值內插到最接近的線規。補充：同一種材料，線越細強度越高，因為冷拉的加工硬化比例較大。

原圖對照（Table 4-1）

例題 4-1 Example 4-1

螺旋壓縮彈簧用 No. 8 線，靜負載 100 lb 時撓度 1 in，最大剪應力 80 000 psi，無效圈數 $Q=2$。求平均半徑 $R$、有效圈數 $N_c$ 與材料體積 $V$。

解　由 Table 4-1，$d=0.1620$ in。把 $c=2R/d$ 代入 $\tau=K_s\dfrac{16PR}{\pi d^3}$，得 $\dfrac{\pi d^2\tau}{8P}=c+0.615$，所以 $$R=\frac d2\left(\frac{\pi d^2\tau}{8P}-0.615\right)=\frac{0.1620}2\left(\frac{\pi(0.1620)^2(80\,000)}{8(100)}-0.615\right)=0.618\ \text{in}$$ $$c=\frac{2R}d=\frac{2(0.618)}{0.162}=7.63$$

把 $d=2R/c$ 代入撓度式，$\delta=\dfrac{4Pc^4N_c}{GR}$：

$$N_c=\frac{\delta RG}{4Pc^4}=\frac{1(0.618)(11\,500\,000)}{4(100)(7.63)^4}=5.24\ \text{active coils}$$ $$V=\frac12\pi^2d^2R\left(N_c+Q\right)=\frac12\pi^2(0.1620)^2(0.618)(5.24+2)=0.5797\ \text{in}^3$$

編註：原講義算 $c$ 的分子印成 $2\times0.168$，應為 $2\times0.618$（結果 7.63 是對的）。補充的兩步推導（$R$ 與 $N_c$ 的公式從哪裡來）原講義沒有寫出。

原圖對照（例題 4-1）

最省材料的靜負載彈簧 Minimum Volume — Static Load

螺旋彈簧的變數很多，靠試誤不容易找到最有效率的設計。靜負載時，把撓度 $\delta$、剪力彈性係數 $G$、無效圈數 $Q$、載重 $P$ 與應力 $\tau$ 組成一個參數

$$B=\frac{\delta G}{Q\sqrt{8P\pi\tau}}\tag{13}$$

若彈簧指數 $c$ 滿足下式，彈簧用的材料最少（已計入 $K_s$）：

$$B=\frac{c^3\left(5c+1.23\right)}{2.46\sqrt{c+0.615}}\tag{13a}$$

補充推導：應力固定為 $\tau$ 時，$\tau=K_s\dfrac{16PR}{\pi d^3}=\dfrac{8P\left(c+0.615\right)}{\pi d^2}$，所以 $d^2=\dfrac{8P\left(c+0.615\right)}{\pi\tau}$；又 $N_c=\dfrac{\delta Gd}{8Pc^3}$。代入體積式：

$$V=\frac{\pi^2}4\left[\frac{\delta Gd^4}{8Pc^2}+Qcd^3\right]=\frac{\pi^2}4\left[\frac{8P\delta G}{\pi^2\tau^2}\left(1+\frac{0.615}c\right)^2+Q\left(\frac{8P}{\pi\tau}\right)^{3/2}c\left(c+0.615\right)^{3/2}\right]$$

第一項（有效圈）隨 $c$ 減少，第二項（兩端無效圈）隨 $c$ 增加。令 $dV/dc=0$ 整理即得 (13a)。

Table 4-8　最省材料的靜負載螺旋壓縮彈簧設計常數（依 (13a) 重算）：

c	B	c	B	c	B	c	B	c	B
3.0	94	4.0	257	5.0	562	6.0	1,066	7.0	1,831
3.1	105	4.1	280	5.1	603	6.1	1,130	7.1	1,924
3.2	118	4.2	305	5.2	645	6.2	1,196	7.2	2,021
3.3	131	4.3	331	5.3	690	6.3	1,265＊	7.3	2,121
3.4	145	4.4	359	5.4	737	6.4	1,337	7.4	2,224
3.5	161	4.5	389＊	5.5	786＊	6.5	1,412	7.5	2,332
3.6	178	4.6	420	5.6	837	6.6	1,489	7.6	2,442
3.7	196	4.7	453	5.7	891	6.7	1,570	7.7	2,557
3.8	215	4.8	487	5.8	947	6.8	1,654	7.8	2,675
3.9	235	4.9	524	5.9	1,005	6.9	1,741	7.9	2,797
4.0	257	5.0	562	6.0	1,066	7.0	1,831	8.0	2,924

編註：原表 $c=6.3$ 印成 1,346，比 $c=6.4$ 的 1,337 還大，應為 1,265；另 $c=4.5$、5.5 原表為 387、783，公式值 389、786（差不到 0.4%）。以上三格以＊標示，表中數值都由 (13a) 重新計算。

原圖對照（Eq. 13、Table 4-8）

例題 4-2 Example 4-2

鋼質螺旋彈簧承受 100 lb 靜負載時撓度 1 in，應力 80 000 psi，$Q=2$。求最有效率的線徑，選用最接近的標準線規，求對應的 $R$、$N_c$ 與材料體積。

解　鋼的 $G=11\,500\,000$ psi。 $$B=\frac{\delta G}{Q\sqrt{8P\pi\tau}}=\frac{1(11\,500\,000)}{2\sqrt{8(100)\pi(80\,000)}}=406$$

由 Table 4-8，$c=4.56$（暫定）。

$$K_s=1+\frac{0.615}{4.56}=1.135,\qquad d=\left(\frac{8K_sPc}{\pi\tau}\right)^{1/2}=\left(\frac{8(1.135)(100)(4.56)}{\pi(80\,000)}\right)^{1/2}=0.1284\ \text{in}$$

由 Table 4-1，最接近的標準線為 No. 10，$d=0.1350$ in。

$$c=\frac{\pi d^2\tau}{8P}-0.615=\frac{\pi(0.1350)^2(80\,000)}{8(100)}-0.615=5.110,\qquad R=\frac{cd}2=\frac{5.110(0.1350)}2=0.3450\ \text{in}$$ $$N_c=\frac{\delta RG}{4Pc^4}=\frac{1(0.3450)(11\,500\,000)}{4(100)(5.110)^4}=14.54\ \text{active coils}$$ $$V_{min}=\frac12\pi^2(0.1350)^2(0.3450)(14.54+2)=0.5131\ \text{in}^3$$

例 4-1 與 4-2 條件相同，只是 4-1 的線徑是任意選的；任意選的線徑多用了 13% 的材料（$0.5797/0.5131=1.13$）。

補充：上圖每一點都是應力剛好 80 000 psi、撓度 1 in 的彈簧。理論最省在 $c=4.55$、$V=0.5104$ in³（線徑 0.1283 in 不是標準規格）；標準線規中 No. 10 最省，No. 11 的 0.5142 in³ 只多一點，No. 8（例 4-1）多 13%。

原圖對照（例題 4-2）

設計原則 General Principles

彈簧設計有三個基本原則，都可以從 $k=\dfrac{Gd^4}{64R^3N_c}$ 看出來：

線越粗，彈簧越硬（$k\propto d^4$）。
線圈越小，彈簧越硬（$k\propto1/R^3$）。
有效圈數越多，壓縮同樣距離所需的力越小（$k\propto1/N_c$）。

根據這些原則，就知道如何調整手上的彈簧。例如想讓汽車的汽門彈簧比原廠稍硬，可以 (a) 換稍粗的線，尺寸與圈數不變；(b) 縮小線圈直徑，線徑與圈數不變；或 (c) 減少有效圈數，線徑與直徑不變。當然也可以換強度更高的材料。

補充：把 $P=k\delta$ 代入應力式，同樣撓度下 $\tau=K_s\dfrac{Gd\,\delta}{4\pi R^2N_c}$，三種做法都會使應力升高；修改後要重新核算應力，也要確認彈簧不會被壓到並緊（solid）。

下一頁：螺旋彈簧的設計（工作範圍、變動負載、矩形線材）。

資料來源：原課程網頁 myCourse/courses/MachineDesign/Spring/HelicalSpring.htm（Microsoft FrontPage）；2026-10-31 重建為獨立網站，原圖中的數學式改以 LaTeX 重寫、示意圖以 SVG 重繪，原圖收在各節「原圖對照」；標示「補充」者為新增內容。說明文字、補充推導與材料體積圖為補充；剪應力分布、係數曲線與端部圖依公式重繪；Table 4-1 改為 HTML 表格，Table 4-8 依 (13a) 重算。