鼓式制動器Drum Brakes
動畫：踩煞車時輪缸（分泵）的兩個活塞把兩片蹄片向外推，蹄片繞下方支點轉動，來令片壓住隨車輪轉動的輪鼓；放開後回位彈簧把蹄片拉回。蹄片繞支點轉動，正是下文長蹄分析的模型。（補充）
原圖對照（鼓式煞車照片與內張式蹄片）
短蹄制動器 Short-Shoe Brakes
蹄片很短時，可以把壓力視為均勻、合力集中在接觸點 B：法向力 \(F_n=pA\)，摩擦力 \(F_f=\mu F_n\)。槓桿與蹄片一起繞 A 轉，對 A 取力矩。上圖鼓逆時針轉，鼓頂面向左移動，把蹄片往左拖；接觸面比 A 低 \(m\)，所以向左的摩擦力對 A 產生與 \(P\) 同向的力矩：
$$P\,a+F_f\,m=F_n\,c\ \Longrightarrow\ P=\frac{F_n\left(c-\mu m\right)}{a}$$鼓反轉時摩擦力換邊，變成 \(P\,a=F_n\,c+F_f\,m\)，需要較大的操作力。（補充）
補充：自增力轉向若 \(\mu m\ge c\)，則 \(P\le0\)，制動器會自鎖，一碰到就自己煞死。把樞軸移到與接觸面同高（原圖的 \(m'\) 位置、\(m=0\)），摩擦力對 A 沒有力矩，兩個轉向的操作力就一樣。
原圖對照（短蹄制動器）
例題 Example
短蹄塊狀制動器（上圖）：鼓半徑 5 in，\(a=16\) in，蹄寬 \(b=2\) in，\(c=6\) in，\(m=1.5\) in，蹄長 4 in，\(p=100\) psi，\(\mu=0.4\)。求操作力 \(P\)。
補充：制動扭矩 \(T=F_f\,r=320\times5=1600\) lb·in。鼓反轉時 \(P=(4800+480)/16=330\) lb；自鎖要 \(\mu\ge c/m=4\)，實際不會發生。
原圖對照（例題）
長蹄制動器 Long-Shoe Brakes
蹄片較長（包角大於約 45°）時，壓力沿襯片變化很大，不能再當成集中力。以 O 為鼓心、A 為樞軸，\(\overline{OA}=r_1\)，角度 \(\phi\) 由 OA 量起，襯片從 \(\phi_1\) 到 \(\phi_2\)，包角 \(\alpha=\phi_2-\phi_1\)。
壓力分布 Pressure Distribution
蹄片視為剛體、襯片視為彈性。蹄片繞 A 轉一個小角度 \(\gamma\)，襯片上一點 B 移動 \(\delta=\gamma m\)（\(m=\overline{AB}\)，方向垂直 AB）；它在半徑方向的分量 \(\delta_n\) 就是襯片的壓縮量，與壓力成正比。由三角形 AOB 的正弦定律 \(m\sin\theta=r_1\sin\phi\)：
$$\delta_n=Kp_n,\qquad \delta_n=\delta\sin\theta=\gamma m\sin\theta=\gamma r_1\sin\phi$$ $$Kp_n=\gamma r_1\sin\phi,\quad Kp_{max}=\gamma r_1\left(\sin\phi\right)_{max}\ \Longrightarrow\ p_n=\frac{p_{max}}{\left(\sin\phi\right)_{max}}\sin\phi$$襯片範圍若跨過 \(\phi=90^\circ\)，\((\sin\phi)_{max}=1\)；若整段都在 90° 以內，\((\sin\phi)_{max}=\sin\phi_2\)。補充：靠近 A 的襯片（\(\phi\) 小）幾乎不受壓，所以襯片通常不從 \(\phi=0\) 開始鋪。
原圖對照（壓力分布推導）
力矩與扭矩 Moments and Torque
元素 \(d\phi\) 上的法向力 \(dF_n=b\,r\,p_n\,d\phi\)，對 A 的力臂 \(r_1\sin\phi\)；摩擦力 \(dF_f=\mu\,dF_n\) 沿切線，力臂 \(r-r_1\cos\phi\)：
$$M_n=\int_{\phi_1}^{\phi_2}b\,r\,r_1p_n\sin\phi\,d\phi=\frac{b\,r\,r_1p_{max}}{\left(\sin\phi\right)_{max}}\int_{\phi_1}^{\phi_2}\sin^2\phi\,d\phi=\frac{b\,r\,r_1p_{max}}{4\left(\sin\phi\right)_{max}}\left(2\alpha-\sin2\phi_2+\sin2\phi_1\right)$$ $$M_f=\int_{\phi_1}^{\phi_2}\mu p_n\left(r-r_1\cos\phi\right)b\,r\,d\phi=\frac{\mu\,b\,r\,p_{max}}{\left(\sin\phi\right)_{max}}\int_{\phi_1}^{\phi_2}\left(r\sin\phi-\tfrac12r_1\sin2\phi\right)d\phi$$ $$\phantom{M_f}=\frac{\mu\,b\,r\,p_{max}}{4\left(\sin\phi\right)_{max}}\left[r_1\left(\cos2\phi_2-\cos2\phi_1\right)-4r\left(\cos\phi_2-\cos\phi_1\right)\right]$$上圖的轉向，\(M_n\) 與 \(M_f\) 都是逆時針、與 \(P\) 相反，所以
$$P\,a=M_n+M_f$$制動扭矩是摩擦力對鼓心 O 的力矩：
$$T=\int_{\phi_1}^{\phi_2}\mu p_n\,b\,r^2\,d\phi=\frac{\mu\,b\,r^2p_{max}}{\left(\sin\phi\right)_{max}}\left(\cos\phi_1-\cos\phi_2\right)$$補充：鼓反轉時摩擦力換向，\(P\,a=M_n-M_f\)，這時蹄片是自增力的，同樣的 \(P\) 可以產生較大的 \(p_{max}\) 與扭矩；若 \(M_f\ge M_n\) 就會自鎖。內張式煞車常讓一片蹄片自增力（leading shoe）、另一片不自增力（trailing shoe）。
原圖對照（力矩與扭矩）
例題 6-6 Example 6-6
上圖的制動器：\(r=8\) in，\(b=3\) in，\(a=22\) in（A 到 \(P\) 的距離，A 在 B 左方 10 in、與 B 同高），\(P=1000\) lb，襯片由 B 左 45° 鋪到 B 右 50°，鼓 200 rpm，\(\mu=0.2\)。(a) 求 \(p_{max}\)、扭矩與馬力；(b) 假設法向力與摩擦力都集中在 B，重算並與 (a) 比較。
\(\cos\phi_1=0.99390\)、\(\cos\phi_2=-0.19652\)、\(\sin2\phi_1=0.21928\)、\(\cos2\phi_1=0.97566\)、\(\sin2\phi_2=-0.38537\)、\(\cos2\phi_2=-0.92276\)；\(\phi_2>90^\circ\)，所以 \((\sin\phi)_{max}=1\)。
$$M_n=\tfrac14(3)(8)(12.806)\,p_{max}\left(2\times1.65806+0.38537+0.21928\right)=301.26\,p_{max}$$ $$M_f=\tfrac14(0.2)(3)(8)\,p_{max}\left[12.806\left(-0.92276-0.97566\right)-4(8)\left(-0.19652-0.99390\right)\right]=16.54\,p_{max}$$兩者對 A 都是逆時針；外加力矩 \(P\,a=1000\times22=22\,000\) lb·in，順時針。蹄片力矩平衡：
$$\left(301.26+16.54\right)p_{max}=22\,000\ \Longrightarrow\ p_{max}=69.2\ \text{psi}$$ $$T=0.2(3)(8^2)(69.2)\left(0.99390+0.19652\right)=3164\ \text{lb·in},\qquad hp=\frac{Tn}{63\,000}=\frac{3164\times200}{63\,000}=10.04$$(b) 對 A 取力矩。B 與 A 同高，B 點的摩擦力（水平）通過 A，沒有力矩：
$$F_n=\frac{1000\times22}{10}=2200\ \text{lb},\qquad A=2\pi(8)(3)\frac{95}{360}=39.8\ \text{in}^2,\qquad p_{av}=\frac{2200}{39.8}=55.3\ \text{psi}$$ $$T=\mu F_nr=0.2\times2200\times8=3520\ \text{lb·in},\qquad hp=\frac{3520\times200}{63\,000}=11.2$$補充：集中力近似高估扭矩約 11%，也看不出最大壓力（69.2 psi 比平均 55.3 psi 高 25%）。
編註：原講義 \(M_n\) 那行把 \(\sin2\phi_2\) 的數值印成 0.38357、\(\alpha\) 印成 1.65808（上一行是 1.65806），都是抄寫錯；照印的數字算會得 301.12，結果 301.26 是用正確數值算的。另外 ∠AOB 精確值為 51.340°（原講義取 51°20′ = 51.333°），用精確角度重算 \(p_{max}=69.2\) psi、\(T=3164\) lb·in 都不變。
補充：同樣 \(P=1000\) lb，鼓反轉（自增力）時 \(p_{max}=22\,000/(301.26-16.54)=77.3\) psi，\(T=3532\) lb·in，多 12%。本例 \(M_f\) 比 \(M_n\) 小很多，要 \(\mu\ge3.64\) 才會自鎖。
原圖對照（例題 6-6）
對稱樞接蹄 Pivoted Symmetrical Shoe
蹄片對稱於樞軸 A 與鼓心 O 的連線，角度 \(\phi\) 由對稱軸量起。蹄片繞 A 有小量轉動時，各點的位移近似平行（垂直於 OA），大小相同為 \(\delta\)，其半徑方向分量 \(\delta_n=\delta\cos\phi\) 與壓力成正比：
$$\delta_n=Kp_n,\quad \delta\cos\phi=Kp_n,\quad \delta=Kp_{max}\ \Longrightarrow\ p_n=p_{max}\cos\phi$$把樞軸放在使摩擦力對 A 的力矩為零的位置，蹄片在兩個轉向都沒有自增力或自減力（力臂為 \(r_1\cos\phi-r\)）：
$$M_f=2\int_0^{\alpha/2}\mu\,b\,r\,p_n\left(r_1\cos\phi-r\right)d\phi=2\mu\,b\,r\,p_{max}\int_0^{\alpha/2}\left(r_1\cos^2\phi-r\cos\phi\right)d\phi=0$$ $$\left[r_1\left(\frac12\phi+\frac14\sin2\phi\right)-r\sin\phi\right]_0^{\alpha/2}=0\ \Longrightarrow\ r_1=\frac{4r\sin\left(\alpha/2\right)}{\alpha+\sin\alpha}$$扭矩、樞軸的法向反力與摩擦反力：
$$T=2\int_0^{\alpha/2}\mu\,b\,r^2p_n\,d\phi=2\mu\,b\,r^2p_{max}\sin\frac\alpha2,\qquad F_n=2\int_0^{\alpha/2}b\,r\,p_n\cos\phi\,d\phi=\frac12b\,r\,p_{max}\left(\alpha+\sin\alpha\right)$$ $$F_t=2\int_0^{\alpha/2}\mu\,b\,r\,p_n\cos\phi\,d\phi=\mu F_n$$編註：原講義積分結果第一項寫成 \(r_1\left(\frac12\phi+\frac12\sin2\phi\right)\)，\(\int\cos^2\phi\,d\phi=\frac12\phi+\frac14\sin2\phi\)，係數應為 1/4；後面的 \(r_1\) 公式是用正確的 1/4 推出的。補充：\(\alpha\to0\) 時 \(r_1\to r\)（短蹄、樞軸在接觸面上），\(\alpha=180^\circ\) 時 \(r_1=4r/\pi=1.273r\)，樞軸都在鼓外。
原圖對照（樞接蹄）
