二維應力Plane Stress

同一點的應力，會因所取截面的方向而不同。本章找出任意方向截面上的應力（應力轉換），以及其中最大的正向應力（主應力）與最大剪應力；這是第 6 章破壞理論的基礎。

單軸拉力的斜截面 Stress on an Oblique Plane

以與橫截面夾 $\theta$ 的斜面切開；由平衡，斜面上的分佈力必須等效於 $P$。
把 $P$ 分解成斜面的法向與切向分量：$F=P\cos\theta$、$V=P\sin\theta$。
斜面面積 $A_\theta=A_0/\cos\theta$，平均應力：

$$\sigma=\frac{F}{A_\theta}=\frac{P}{A_0}\cos^2\theta,\qquad \tau=\frac{V}{A_\theta}=\frac{P}{A_0}\sin\theta\cos\theta$$

補充：$\theta=0$ 時 $\sigma=P/A_0$ 最大、$\tau=0$；$\theta=45^\circ$ 時 $\tau_{max}=\dfrac{P}{2A_0}$。延性材料拉伸時沿 45° 面滑移，正是剪應力造成的。

原圖對照（斜截面）

平面應力狀態 State of Plane Stress

互補剪應力：元素對 z 軸的力矩平衡 $\tau_{xy}(dy\,dz)\,dx=\tau_{yx}(dx\,dz)\,dy$，所以 $\tau_{xy}=\tau_{yx}$。四個面上的剪應力大小相等，兩兩組成方向相反的力偶。
平面應力：只有 $\sigma_x$、$\sigma_y$、$\tau_{xy}$，z 方向的應力都為 0。軸受拉（只有 $\sigma_x$）、受扭（只有 $\tau_{xy}$）、梁的表面等都是這種狀態。
符號規則（沿用原講義）：正向應力拉為正；剪應力使元素順時針轉者為正（上圖右面向下、左面向上）。

編註：Hibbeler、Gere 等多數教科書規定 +x 面上指向 +y 的剪應力為正（右面向上），恰與本講義相反；換用那套規則時，下面公式中的 $\tau_{xy}$ 項要變號，莫爾圓的畫法也跟著不同，但主應力、最大剪應力的大小完全一樣。

原圖對照（平面應力）

應力轉換 Stress Transformation

斜面面積取 1，則左面積 $\cos\phi$、底面積 $\sin\phi$；斜面外法線 $n$ 與 x 軸夾 $\phi$。沿 $n$ 方向的力平衡：

$$\sigma_\phi-\sigma_x\cos^2\phi-\sigma_y\sin^2\phi+2\tau_{xy}\sin\phi\cos\phi=0$$

用倍角公式整理：

$$\boxed{\sigma_\phi=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos2\phi-\tau_{xy}\sin2\phi}$$

沿斜面 $t$ 方向的力平衡：

$$\tau_\phi+\tau_{xy}\sin^2\phi-\tau_{xy}\cos^2\phi-\sigma_x\sin\phi\cos\phi+\sigma_y\sin\phi\cos\phi=0$$ $$\boxed{\tau_\phi=\tau_{xy}\cos2\phi+\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin2\phi}$$

補充：把 $\phi$ 換成 $\phi+90^\circ$ 可得另一面的正向應力，兩者相加 $\sigma_\phi+\sigma_{\phi+90^\circ}=\sigma_x+\sigma_y$：互相垂直的兩面正向應力和不隨方向改變（不變量）。

原圖對照（應力轉換推導）

莫爾圓 Mohr's Circle

令圓心 $C$、半徑 $R$，並把 X 面的狀態 $(\sigma_x,\tau_{xy})$ 看成圓上與 σ 軸夾 $2\theta$ 的一點：

$$C=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2},\qquad R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2},\qquad \cos2\theta=\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2R},\quad \sin2\theta=\frac{\tau_{xy}}{R}$$ $$\sigma_\phi=C+R\cos(2\theta+2\phi)=C+R\cos2\theta\cos2\phi-R\sin2\theta\sin2\phi=C+\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos2\phi-\tau_{xy}\sin2\phi$$ $$\tau_\phi=R\sin(2\theta+2\phi)=R\sin2\theta\cos2\phi+R\cos2\theta\sin2\phi=\tau_{xy}\cos2\phi+\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin2\phi$$

與上一節的轉換公式完全相同，所以任一截面的 $(\sigma_\phi,\tau_\phi)$ 都落在以 $(C,0)$ 為圓心、$R$ 為半徑的圓上（補充：消去 $\phi$ 即得 $(\sigma_\phi-C)^2+\tau_\phi^2=R^2$）。
X 面在 $(\sigma_x,\tau_{xy})$，Y 面在 $(\sigma_y,-\tau_{xy})$，兩點是直徑的兩端。
元素轉 $\phi$，圓上的點轉 $2\phi$，方向相同（剪應力以順時針為正、畫在上方時）。

原圖對照（莫爾圓）

主應力與最大剪應力 Principal Stresses

莫爾圓與 σ 軸的兩個交點，就是所有方向中最大、最小的正向應力（主應力），該面上剪應力為 0；圓的最高點是最大剪應力：

$$\sigma_1=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2},\qquad \sigma_2=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}-\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}$$ $$\tau_{max}=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}=R,\qquad \tan2\theta_p=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}$$

兩個主平面互相垂直；最大剪應力面與主平面相差 45°，其上的正向應力等於 $C=\dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2}$。
$\tan2\theta_p$ 在 0–180° 間有兩個解，對應 $\sigma_1$、$\sigma_2$ 兩個主方向；要分辨哪一個是 $\sigma_1$，最穩當的方法是代回 $\sigma_\phi$ 公式，或直接看莫爾圓。
這裡的 $\tau_{max}$ 是平面內的最大剪應力；若 $\sigma_1$、$\sigma_2$ 同號，真正的最大剪應力在面外，見下一頁應力張量的三維莫爾圓。

原圖對照（主應力）

例題 1 Example 1

對圖示的平面應力狀態（MPa）：(a) 畫莫爾圓；求 (b) 主平面、(c) 主應力、(d) 最大剪應力與該面上的正向應力。

For the state of plane stress shown, (a) construct Mohr's circle, determine (b) the principal planes, (c) the principal stresses, (d) the maximum shearing stress and the corresponding normal stress.

$\sigma_x=50$、$\sigma_y=-10$；右面的剪應力 40 MPa 向上，使元素逆時針轉，依本講義規則 $\tau_{xy}=-40$ MPa。

(a) 莫爾圓：X 面在 $(50,-40)$、Y 面在 $(-10,40)$：

$$C=\frac{50+(-10)}{2}=20,\qquad R=\sqrt{30^2+40^2}=50\ \text{MPa}$$

(b)(c) 主平面與主應力：

$$\sigma_1=OA=OC+CA=20+50=70\ \text{MPa},\qquad \sigma_2=OB=OC-BC=20-50=-30\ \text{MPa}$$ $$\tan2\theta_p=\frac{40}{30}\ \Rightarrow\ 2\theta_p=53.1^\circ\ \Rightarrow\ \theta_p=26.6^\circ\ (\text{逆時針})$$

(d) 最大剪應力與對應的正向應力：

$$\tau_{max}=R=50\ \text{MPa},\qquad \theta_s=\theta_p+45^\circ=71.6^\circ,\qquad \sigma'=\sigma_{ave}=20\ \text{MPa}$$

原圖對照（例題 1）

例題 2 Example 2

對圖示的應力狀態（MPa），求 (a) 主平面與主應力；(b) 元素逆時針轉 30° 後各面上的應力分量。

(a) the principal planes and the principal stresses, (b) the stress components exerted on the element obtained by rotating the given element counterclockwise through 30 degrees.

$\sigma_x=100$、$\sigma_y=60$；右面剪應力 48 MPa 向下（順時針），$\tau_{xy}=+48$ MPa。

(a) 莫爾圓與主應力：

$$\sigma_{ave}=\frac{100+60}{2}=80\ \text{MPa},\qquad R=\sqrt{(CF)^2+(FX)^2}=\sqrt{20^2+48^2}=52\ \text{MPa}$$ $$\tan2\theta_p=\frac{XF}{CF}=\frac{48}{20}=2.4\ \Rightarrow\ 2\theta_p=67.4^\circ\ \Rightarrow\ \theta_p=33.7^\circ\ (\text{順時針})$$ $$\sigma_{max}=OC+CA=80+52=132\ \text{MPa},\qquad \sigma_{min}=OC-BC=80-52=28\ \text{MPa}$$

(b) 元素逆時針轉 30°，莫爾圓上 XY 直徑也逆時針轉 $2\theta=60^\circ$ 到 X′Y′。X′ 與 σ 軸的夾角：

$$\phi=180^\circ-60^\circ-67.4^\circ=52.6^\circ$$ $$\sigma_{x'}=OK=OC-KC=80-52\cos52.6^\circ=48.4\ \text{MPa}$$ $$\sigma_{y'}=OL=OC+CL=80+52\cos52.6^\circ=111.6\ \text{MPa}$$ $$\tau_{x'y'}=KX'=52\sin52.6^\circ=41.3\ \text{MPa}$$

補充：直接代第一批的轉換公式（$\phi=30^\circ$）也得到同樣結果：$\sigma_{x'}=80+20\cos60^\circ-48\sin60^\circ=48.4$、$\tau_{x'y'}=48\cos60^\circ+20\sin60^\circ=41.3$ MPa。

原圖對照（例題 2）

常見負載的應力狀態 Stress States of Basic Loadings

拉伸：$\sigma_z=F/A$，莫爾圓通過原點與 $\sigma_z$；與橫截面夾 $\varphi$ 的斜面上 $\sigma_\varphi=\sigma_z\cos^2\varphi$、$\tau_\varphi=\sigma_z\sin\varphi\cos\varphi$（同第一節），45° 面上剪應力最大 $\sigma_z/2$。
壓縮：與拉伸對稱，圓在 σ 軸負側，$\sigma_d=F/A$。
彎曲：$|\sigma_{b,max}|=\dfrac{M_b\,y_{max}}{I_{x\text{-}x}}=\dfrac{M_b}{W_{x\text{-}x}}$；方形截面 $\dfrac{6M_b}{bh^2}$、圓形截面 $\dfrac{32M_b}{\pi d^3}$。截面上每一高度都是單軸應力，只是大小不同，所以莫爾圓是一組都通過原點的圓（① 上緣受壓最大、④ 下緣受拉最大）。
扭轉：$\tau_t=\dfrac{T}{I_t}\,\dfrac d2=\dfrac{T}{W_t}$，$\varphi=\dfrac{TL}{GI_t}$（限圓形截面）。純剪狀態的莫爾圓圓心在原點，主應力 $\sigma_1=\tau$、$\sigma_2=-\tau$ 在 45° 方向：脆性材料（如粉筆）受扭會沿 45° 螺旋面斷裂，就是被 $\sigma_1$ 拉斷。

編註：這幾張原圖用的是另一套常見符號：$W$ 為截面模數（即第 4 章的 $S=I/c$）、$I_t$ 為極慣性矩（即 $J$）、$W_t=I_t/(d/2)$ 為極截面模數。

原圖對照（四種負載）

截面形狀的效率 Section Efficiency

面積（用料）相同時，不同截面形狀的抗彎、抗扭能力差很多（原講義資料，以最佳形狀為 100%）：

抗彎：材料要放在離中性軸遠的地方，I 形梁、槽形最有效；實心圓只有 11.7%。
抗扭：材料要放在離軸心遠的地方，而且截面要封閉。薄壁圓管、方管最有效；I 形梁、槽形這類開口薄壁截面抗扭極差（I 形梁只有 2.2%），所以傳動軸用圓管而不用型鋼。

原圖對照（截面效率）

資料來源：原課程網頁 myCourse/courses/MachineDesign/Stress/Stress2D.htm（Microsoft FrontPage）；2026-10-31 重建為獨立網站，原圖中的數學式改以 LaTeX 重寫、示意圖以 SVG 重繪，原圖收在各節「原圖對照」；標示「補充」者為新增內容。互動莫爾圓為自行撰寫（assets/mohr.js）。