應力張量Stress Tensor

一般的三維受力狀態下，一點的應力需要 9 個分量（其中 6 個獨立）才能完整描述，寫成 3×3 的應力張量。主應力就是這個矩陣的特徵值，主方向就是特徵向量。

三維應力狀態 State of Stress

符號 $\sigma_{\xi\eta}$：作用在 $\xi$ 面（外法線沿 $\xi$ 軸的面）上、沿 $\eta$ 方向的應力分量。第一個下標是面的法線方向，第二個是應力的方向；$\xi=\eta$ 時是正向應力，其餘是剪應力。

$$\boldsymbol\sigma=\begin{bmatrix}\sigma_{xx}&\sigma_{xy}&\sigma_{xz}\\ \sigma_{yx}&\sigma_{yy}&\sigma_{yz}\\ \sigma_{zx}&\sigma_{zy}&\sigma_{zz}\end{bmatrix}$$

補充：小元素對三個軸的力矩平衡給出 $\sigma_{xy}=\sigma_{yx}$、$\sigma_{yz}=\sigma_{zy}$、$\sigma_{zx}=\sigma_{xz}$（互補剪應力），所以張量是對稱矩陣，只有 6 個獨立分量。

編註：本頁的張量分量採標準定義（正面上沿正座標方向為正），與上一頁平面應力「順時針為正」的剪應力規則不同；兩者換算為 $\sigma_{xy}=-\tau_{xy}$。主應力的大小不受影響。

原圖對照（應力狀態）

主應力與主方向 Principal Stresses

一般方向的元素每個面上都有剪應力；但一定存在一組互相垂直的方向，使三個面上都沒有剪應力，只剩正向應力 $\sigma_1$、$\sigma_2$、$\sigma_3$，就是主應力。若主方向的單位向量為 $X$，該面上的應力向量 $\boldsymbol\sigma X$ 必須與 $X$ 同方向：

$$\boldsymbol\sigma X=\lambda X\ \Rightarrow\ (\boldsymbol\sigma-\lambda I)\,X=0\ \Rightarrow\ |\boldsymbol\sigma-\lambda I|=0$$

應力張量的特徵值就是主應力；特徵向量就是主平面的法線方向（主方向）。
補充：展開行列式得特徵方程式 $\lambda^3-I_1\lambda^2+I_2\lambda-I_3=0$，其中 $$I_1=\sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz},\quad I_2=\sigma_{xx}\sigma_{yy}+\sigma_{yy}\sigma_{zz}+\sigma_{zz}\sigma_{xx}-\sigma_{xy}^2-\sigma_{yz}^2-\sigma_{zx}^2,\quad I_3=\det\boldsymbol\sigma$$ 三個係數不隨座標軸方向改變，稱為應力不變量；因此 $I_1=\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3$、$I_3=\sigma_1\sigma_2\sigma_3$。
對稱矩陣的特徵值一定是實數，三個主方向互相垂直。

原圖對照（主應力）

例題 1 Example 1

圖示元素（單位任意）$\sigma_{xx}=2$、$\sigma_{yy}=4$、$\sigma_{zz}=5$，x 面上另有大小 2 的剪應力，箭頭指向 $-z$，所以 $\sigma_{xz}=\sigma_{zx}=-2$。求主應力與主方向。

$$A=\begin{bmatrix}2&0&-2\\0&4&0\\-2&0&5\end{bmatrix},\qquad |A-\lambda I|=\begin{vmatrix}2-\lambda&0&-2\\0&4-\lambda&0\\-2&0&5-\lambda\end{vmatrix}=0$$ $$\lambda^3-11\lambda^2+34\lambda-24=0\ \Rightarrow\ (\lambda-1)(\lambda-4)(\lambda-6)=0\ \Rightarrow\ \lambda=1,\ 4,\ 6$$

代回 $(A-\lambda I)X=0$ 求主方向。三個方程式只有兩個獨立，取兩列做「餘因子比」（等同兩列向量的叉積）：

$$\lambda=1:\ \begin{bmatrix}1&0&-2\\0&3&0\\-2&0&4\end{bmatrix}X=0,\quad x_1:x_2:x_3=\begin{vmatrix}0&-2\\3&0\end{vmatrix}:\begin{vmatrix}-2&1\\0&0\end{vmatrix}:\begin{vmatrix}1&0\\0&3\end{vmatrix}=6:0:3=2:0:1$$ $$\lambda=4:\ \begin{bmatrix}-2&0&-2\\0&0&0\\-2&0&1\end{bmatrix}X=0,\quad x_1:x_2:x_3=0:6:0=0:1:0$$ $$\lambda=6:\ \begin{bmatrix}-4&0&-2\\0&-2&0\\-2&0&-1\end{bmatrix}X=0,\quad x_1:x_2:x_3=-4:0:8=1:0:-2$$ $$\Rightarrow\ X_1=c_1\begin{bmatrix}2\\0\\1\end{bmatrix},\qquad X_2=c_2\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix},\qquad X_3=c_3\begin{bmatrix}1\\0\\-2\end{bmatrix}$$

補充：λ = 4 時第 2 列全為 0，要改用第 1、3 列；若選到兩列互相成比例（例如 λ = 6 的第 1、3 列），叉積會是零向量，必須換一組。
補充：三個方向互相垂直（內積都是 0），單位化後為 $(2,0,1)/\sqrt5$、$(0,1,0)$、$(1,0,-2)/\sqrt5$；依大小排序 $\sigma_1=6$、$\sigma_2=4$、$\sigma_3=1$。

補充：三維莫爾圓由三個以主應力兩兩為直徑的圓組成，任一截面的 $(\sigma,\tau)$ 落在大圓內、兩小圓外的陰影區。絕對最大剪應力 $\tau_{abs}=(\sigma_1-\sigma_3)/2$；本例為 2.5。平面應力（$\sigma_3=0$）若 $\sigma_1$、$\sigma_2$ 同號，$\tau_{abs}=\sigma_1/2$ 會大於平面內的 $(\sigma_1-\sigma_2)/2$，第 6 章的破壞理論要用這個值。

原圖對照（例題 1）

例題 2：用軟體求解 Example 2

$$A=\begin{bmatrix}10&5&6\\5&20&4\\6&4&30\end{bmatrix}$$

手算三次方程式很麻煩，實務上用軟體。原講義以 MATLAB：

A = [10 5 6; 5 20 4; 6 4 30]
[v d] = eig(A)

結果 d 的對角線是主應力、v 的各欄是對應的主方向：

主應力	主方向（v 的欄）
7.1418	(0.9334, −0.3032, −0.1919)
19.1491	(0.1967, 0.8796, −0.4330)
33.7092	(0.3002, 0.3664, 0.8807)

補充：檢查不變量 $I_1=10+20+30=60=7.1418+19.1491+33.7092$。絕對最大剪應力 $\tau_{abs}=(33.7092-7.1418)/2=13.28$。特徵向量乘上 −1 仍是同一個方向，所以不同軟體算出的正負號可能不同。

原圖對照（例題 2）

計算工具 Tools

原講義提供的 Excel 試算表（教科書附的 Module 1-5「Triaxial Stress Computations」等）：Stress3D.xls、Stress2D.xls。

編註：原講義的試算表截圖中，$t_{xy}$ 的單位誤選為 psi（其餘為 MPa），輸出的 S₁、S₂、S₃ 也沒有依大小排序（7、34、19）；數值本身與例題 2 一致。

原圖對照（試算表）

資料來源：原課程網頁 myCourse/courses/MachineDesign/Stress/Stress3D.htm（Microsoft FrontPage）；2026-10-31 重建為獨立網站，原圖中的數學式改以 LaTeX 重寫、示意圖以 SVG 重繪，原圖收在各節「原圖對照」；標示「補充」者為新增內容。三維主應力計算器為自行撰寫（assets/tensor.js）；Excel 試算表為原講義附檔。