機械設計 Machine Design

扭轉彈簧Torsion Springs

螺旋彈簧也可以承受繞螺旋軸線的扭矩，例如曬衣夾、捕鼠器、捲簾的捲軸與車庫門的平衡彈簧。這種負載很像軸的扭轉，但對線材而言，每個截面受的是彎矩，所以要用彎曲應力公式。（補充說明）
MM(a) 繞螺旋軸線的扭矩 MRh 或 dMM(b) 線材每個截面受彎矩 Mθθ長度 lrMM(c) 兩端切線的夾角 θ = Ml/(EI)

彎曲應力與曲率修正 Bending Stress and Curvature Factors

如上圖 (a)，扭矩 \(M\) 繞螺旋軸線作用；(b) 對線圈中的任一段而言，\(M\) 是彎矩，所以線材承受彎曲，可用一般的彎曲應力公式 \(\sigma=Mv/I\)。圓線與矩形線（深度 \(h\) 為垂直於軸線的尺寸）分別為：（補充）

$$\sigma=\frac{32M}{\pi d^3}\quad\text{（圓線）},\qquad \sigma=\frac{6M}{bh^2}\quad\text{（矩形線）}$$

線材是彎曲的，應力在線圈內緣較大、外緣較小，把 \(\sigma=Mv/I\) 乘上應力集中係數修正。矩形斷面（\(c=2R/h\)）：

$$K_1=\frac{3c^2-c-0.8}{3c\left(c-1\right)}\quad\text{（內緣）}\qquad\qquad K_2=\frac{3c^2+c-0.8}{3c\left(c+1\right)}\quad\text{（外緣）}\tag{22, 23}$$

圓形斷面（\(c=2R/d\)）：

$$K_3=\frac{4c^2-c-1}{4c\left(c-1\right)}\quad\text{（內緣）}\qquad\qquad K_4=\frac{4c^2+c-1}{4c\left(c+1\right)}\quad\text{（外緣）}\tag{24, 25}$$ 2468101214160.60.81.01.21.41.6K3​（圓形內緣）K4​（圓形外緣）K1​（矩形內緣）K2​（矩形外緣）線：Eq. (22)～(25)；點：Winkler 曲樑理論彈簧指數 c = 2R/h 或 2R/d應力集中係數

補充：上圖的點是以 Winkler 曲樑理論（中性軸向曲率中心偏移）精確計算的內、外緣應力比，與 Eq. (22)～(25) 在 \(c=2\) 時相差不到 0.7%，\(c\ge3\) 時約 0.1% 以內。曲率的影響與壓縮彈簧的剪應力相同：\(c\) 越小，內緣應力越大。

補充：扭轉彈簧最好朝捲緊的方向受力。繞製時的塑性變形在線材內留下殘留應力，捲緊方向的工作應力正好與它相反、互相抵消一部分；反向使用則會疊加，容許應力要降低。

原圖對照（扭轉彈簧與應力集中係數）
扭轉彈簧
扭轉彈簧

角變形 Angular Deformation

一般的彈簧指數下，曲率對角變形沒有影響：彈簧中線材的變形與同長度 \(l\) 的直桿相同。直桿受彎矩 \(M\)，兩端切線間的夾角（上圖 (c)）為

$$\theta=\frac{Ml}{EI}\tag{26}$$

\(\theta\) 在某些情況下可達好幾圈。補充：圓線的 \(I=\pi d^4/64\)、\(l=\pi DN\)，所以扭轉彈簧常數為

$$k=\frac M\theta=\frac{EI}l=\frac{Ed^4}{64DN}\ \ \text{（每弧度）},\qquad k'=2\pi k=\frac{\pi Ed^4}{32DN}\ \ \text{（每圈）}$$

補充：彈簧捲緊 \(\theta\) 弧度時，線材總長不變，圈數變為 \(N+\theta/2\pi\)，平均直徑縮小為 \(D'=\dfrac{DN}{N+\theta/2\pi}\)。若彈簧套在心軸上，要預留間隙，以免捲緊後抱死心軸。

原圖對照（角變形）
扭轉彈簧

例題 4-7 Example 4-7

捲簾用的扭轉彈簧以 No. 17 琴鋼線製成，螺旋平均直徑 0.875 in，圈數 400。取 \(\sigma_{yp}=0.6\sigma_{ult}\)，以降伏點為準的安全係數 \(F_s=2\)。計入曲率應力集中，計算螺旋內側的應力；並求從應力最大的狀態放出 12 圈後，捲軸還能施出的扭矩。

解　由 Table 4-1，\(d=0.0540\) in，\(\sigma_{ult}=301\,000\) psi。 $$c=\frac{2R}d=\frac{0.875}{0.054}=16.2,\qquad K_3=\frac{4(16.2)^2-16.2-1}{4(16.2)(16.2-1)}=1.048$$ $$\sigma_{yp}=0.6(301\,000)=180\,600\ \text{psi},\qquad K_3\sigma=\frac{\sigma_{yp}}{F_s}=\frac{180\,600}2=90\,300\ \text{psi},\qquad \sigma=\frac{90\,300}{1.048}=86\,140\ \text{psi}$$ $$I=\frac{\pi d^4}{64}=\frac{\pi(0.054)^4}{64}=0.0000004174\ \text{in}^4$$

應力最大時：

$$M=\frac{\sigma I}r=\frac{86\,140(0.0000004174)}{0.027}=1.3317\ \text{lb·in},\qquad l=2\pi RN_c=\pi(0.875)(400)=1100\ \text{in}$$ $$\theta=\frac{Ml}{EI}=\frac{1.3317(1100)}{30\,000\,000(0.0000004174)}=116.94\ \text{rad}$$

放出 12 圈後：

$$\theta_2=116.94-12(2\pi)=41.54\ \text{rad},\qquad M=\frac{EI\theta_2}l=\frac{30\,000\,000(0.0000004174)(41.54)}{1100}=0.473\ \text{lb·in}$$
0481216200.00.51.01.5放出 12 圈最大應力：18.61 圈、M = 1.3326.61 圈、M = 0.473 lb·ink = EI/l = 0.01139 lb·in/rad從自由狀態捲緊的圈數扭矩 M（lb·in）

補充：116.94 rad 等於從自由狀態捲緊 18.61 圈；放出 12 圈後還剩 6.61 圈，扭矩降為最大值的 36%。彈簧常數 \(k=EI/l=0.01139\) lb·in/rad（每圈 0.0716 lb·in）。原講義的 \(\theta\) 是用未捨入的 \(l=1099.6\) in 算的。

原圖對照（例題 4-7）
扭轉彈簧

上一頁：螺旋彈簧的設計；下一頁：彈簧的應用：機槍。