螺旋彈簧的設計Helical Spring Design

接續彈簧頁的應力與撓度公式，本頁談三種設計情況：在一段工作範圍內使用的彈簧、承受變動負載的彈簧，以及矩形線材的彈簧。

工作範圍的最佳設計 Optimum Design for an Operating Range

很多彈簧在一段行程內工作，必須同時滿足兩個條件：

在最伸長的位置，彈簧仍能施出指定的力 $P_1$。
在最壓縮的位置，扭轉剪應力不超過指定值 $\tau_2$。

上圖的定位彈簧（detent）就是一例：兩個零件繞同一中心相對轉動，鋼珠在缺口內時，彈簧要有足夠的力把零件定在位置上；轉動後鋼珠被推出缺口，彈簧被壓得更緊，應力不能超過安全值。

若只考慮扭轉剪應力與有效圈（忽略 $K_s$ 與端部無效圈 $Q$），可以證明：最小載重、應力與撓度剛好都是最大值的一半時，彈簧用的材料最少。

補充證明：令 $\Delta\delta=\delta_2-\delta_1$。由 $\tau_2=\dfrac{16P_2R}{\pi d^3}$ 得 $R=\dfrac{\pi d^3\tau_2}{16P_2}$；有效圈數 $N_c=\dfrac{Gd^4\Delta\delta}{64\left(P_2-P_1\right)R^3}$。代入有效圈的體積：

$$V=\frac12\pi^2d^2RN_c=\frac{\pi^2Gd^6\,\Delta\delta}{128\left(P_2-P_1\right)R^2}=\frac{2G\,\Delta\delta}{\tau_2^2}\cdot\frac{P_2^2}{P_2-P_1}$$

線徑 $d$ 消掉了：體積只取決於 $P_2$。對 $P_2$ 微分令其為零，得 $P_2=2P_1$，此時 $V_{min}=\dfrac{8G\,\Delta\delta\,P_1}{\tau_2^2}$。因為載重與應力、撓度都成正比，三者的最小值都是最大值的一半。

原圖對照（工作範圍設計）

例題 4-3 Example 4-3

鋼質彈簧在最伸長時必須能施力 $P_1=30$ lb；再壓縮 $\delta_2-\delta_1=0.375$ in 後，扭轉剪應力 $\tau_2$ 不得超過 75 000 psi。空間限制平均半徑約 0.40 in。(a) 求最佳彈簧的線徑、有效圈數與有效圈的材料體積；(b) 若設計者任意選用 No. 9 線，$R$ 仍取 0.40 in，求有效圈的體積並與 (a) 比較。

解　鋼的 $G=11\,500\,000$ psi，忽略直接剪應力。

(a) 最佳彈簧 $\tau_1=0.5\times75\,000=37\,500$ psi。由 $\tau=\dfrac{16PR}{\pi d^3}$（$K_s=1$）：

$$d^3=\frac{16P_1R}{\pi\tau_1}=\frac{16(30)(0.4)}{37\,500\pi}=0.001630,\qquad d=0.1177\ \text{in}$$

由 Table 4-1 選 No. 11 線，$d=0.1205$ in，再依實際線徑調整 $R$：

$$R=\frac{\pi\tau_1d^3}{16P_1}=\frac{\pi(37\,500)(0.1205)^3}{16(30)}=0.4294\ \text{in}$$ $$N_c=\frac{d^4G\delta_1}{64P_1R^3}=\frac{(0.1205)^4(11\,500\,000)(0.375)}{64(30)(0.4294)^3}=5.98\ \text{coils}$$ $$V_{min}=\frac12\pi^2d^2RN_c=\frac12\pi^2(0.1205)^2(0.4294)(5.98)=0.1840\ \text{in}^3$$

(b) No. 9 線 $d=0.1483$ in：

$$P_2=\frac{\pi d^3\tau_2}{16R}=\frac{\pi(0.1483)^3(75\,000)}{16(0.4)}=120.1\ \text{lb}$$ $$N_c=\frac{d^4G\left(\delta_2-\delta_1\right)}{64\left(P_2-P_1\right)R^3}=\frac{(0.1483)^4(11\,500\,000)(0.375)}{64(120.1-30)(0.4)^3}=5.65\ \text{coils}$$ $$V=\frac12\pi^2(0.1483)^2(0.4)(5.65)=0.2455\ \text{in}^3,\qquad \frac V{V_{min}}=\frac{0.2455}{0.1840}=1.33$$

任意選的線徑多用了 33% 的材料。

編註：原講義 (b) 體積式代入的圈數印成 5.6，應為 5.65（用 5.6 只得 0.2431；用 5.652 得 0.2454，與 0.2455 只差捨入）。補充驗算：由上面的公式 $V_{min}=8(11\,500\,000)(0.375)(30)/75\,000^2=0.1840$ in³，(b) 的 $P_2/P_1=4.0$，$V/V_{min}=4.0^2/[4(4.0-1)]=1.33$，都與例題一致。

原圖對照（例題 4-3）

變動負載的設計 Design for Fluctuating Loads

彈簧材料的疲勞強度通常以脈動（由零到最大）的扭轉試驗求得，耐久限 $S_{se}$ 是應力的全幅，所以試驗點的平均應力與應力幅都是 $\tfrac12S_{se}$。在 $\tau_{av}$–$\tau_r$ 圖上，把這一點與剪力降伏強度 $S_{sy}$ 連成直線，作為破壞線：

$$\frac{y-0}{x-S_{sy}}=\frac{\tfrac12S_{se}-0}{\tfrac12S_{se}-S_{sy}}$$

實際彈簧的平均應力 $\tau_{av}$、應力幅 $\tau_r$（都已含 $K_s$）；曲率效應只影響疲勞，所以只把曲率係數 $K_c$ 乘在應力幅上。安全係數 $n$ 時，點 $\left(n\tau_{av},\,nK_c\tau_r\right)$ 落在破壞線上：

$$\frac{nK_c\tau_r}{n\tau_{av}-S_{sy}}=\frac{\tfrac12S_{se}}{\tfrac12S_{se}-S_{sy}}\ \Longrightarrow\ \frac{K_c\tau_r}{\dfrac{S_{sy}}n-\tau_{av}}=\frac{\tfrac12S_{se}}{S_{sy}-\tfrac12S_{se}}$$ $$K_c=\frac{4c-1}{4c-4}\qquad\text{（Wahl 的曲率係數）}$$

補充：$K_c$ 與 $K_s$ 的乘積接近 Wahl 係數（$c=4$～12 相差 3% 以內），例如 $c=6$ 時 $K_cK_s=1.150\times1.103=1.268$，$K_W=1.2525$。

Table 4-6　彈簧線的剪力降伏強度 $\tau_{yp}$ 與脈動剪力耐久限 $\tau_e'$ 對抗拉強度 $\sigma_{ult}$ 的比值：

線材	$\tau_{yp}/\sigma_{ult}$	$\tau_e'/\sigma_{ult}$
硬拉線	0.42	0.21
琴鋼線	0.40	0.23
油回火線	0.45	0.22
302 不鏽鋼線（18-8）	0.46	0.20
Cr–V、Cr–Si 合金鋼線	0.51	0.20

原圖對照（變動負載與 Table 4-6）

例題 4-4 Example 4-4

螺旋壓縮彈簧用 No. 4 琴鋼線，承受變動負載；彈簧指數 6，安全係數 1.5，平均載重 120 lb。求容許的最大與最小載重。

解　由 Table 4-1，No. 4 琴鋼線 $d=0.2253$ in，$\sigma_{ult}=235\,000$ psi。 $$R=\frac{cd}2=\frac{6(0.2253)}2=0.676\ \text{in},\qquad K_c=\frac{4(6)-1}{4(6)-4}=1.15$$ $$\tau_{av}=\frac{16(120)(0.676)}{\pi(0.2253)^3}\left[1+\frac{0.615}6\right]=39\,820\ \text{psi}$$

由 Table 4-6：$\tau_{yp}=0.40(235\,000)=94\,000$ psi，$\tau_e'=0.23(235\,000)=54\,050$ psi。

$$\frac{1.15\tau_r}{\dfrac{94\,000}{1.5}-39\,820}=\frac{27\,025}{94\,000-27\,025}\ \Longrightarrow\ \tau_r=8020\ \text{psi}$$

載重與應力成正比：

$$P_r=\frac{\tau_r}{\tau_{av}}P_{av}=\frac{8020}{39\,820}(120)=24.2\ \text{lb},\qquad P_2=120+24.2=144.2\ \text{lb},\qquad P_1=120-24.2=95.8\ \text{lb}$$

編註：原講義 $\tau_{av}$ 式的分母印成 $\pi(0.2553)^3$，應為 $\pi(0.2253)^3$；39 820 psi 是用正確的 0.2253 算的（用 0.2553 只得 27 370 psi）。

原圖對照（例題 4-4）

矩形線材的螺旋彈簧 Helical Springs of Rectangular Wire

矩形線材的斷面寬 $b$、高 $c_1$（$b\ge c_1$）。彈簧指數以線圈半徑方向的尺寸計算：上圖把長邊 $b$ 放在半徑方向，$c=2R/b$；若改把短邊放在半徑方向，則 $c=2R/c_1$。扭轉剪應力依矩形斷面扭轉的係數（Table 3-3）計算：

$$\tau_T=\frac{PR}{\alpha_1bc_1^2}\quad\text{（長邊中點 }A_1\text{）},\qquad \tau_T=\frac{PR}{\alpha_2bc_1^2}\quad\text{（短邊中點 }A_2\text{）}$$

直接剪力在中立軸上最大（矩形斷面為平均值的 1.5 倍），恰好落在短邊中點：

$$\tau_{P\,max}=\frac32\frac PA$$

撓度：單位長度的扭轉角 $\theta_1$，線材總長 $l=2\pi RN_c$：

$$\theta_1=\frac{PR}{\beta Gbc_1^3},\qquad \delta=\theta_1lR=\frac{2\pi PR^3N_c}{\beta Gbc_1^3}$$

原圖對照（矩形線材）

例題 4-6 Example 4-6

上圖的彈簧 $b=3/4$ in、$c_1=1/2$ in、$R=1.2$ in，靜負載 2500 lb，有效圈數 6。求 $A_1$、$A_2$ 兩點的應力與撓度。

解 $$c=\frac{2R}b=\frac{2(1.2)}{3/4}=3.2$$

由 Table 3-3，$b/c_1=1.50$：$\alpha_1=0.231$、$\alpha_2=0.269$、$\beta=0.196$。

$$\tau_{A_1}=\frac{PR}{\alpha_1bc_1^2}=\frac{2500(1.2)}{0.231(0.75)(0.5)^2}=69\,270\ \text{psi}$$ $$\tau_{A_2,T}=\frac{PR}{\alpha_2bc_1^2}=\frac{2500(1.2)}{0.269(0.75)(0.5)^2}=59\,480\ \text{psi}$$

$A_2$ 的直接剪應力與合計：

$$\tau_P=1.5\frac PA=1.5\frac{2500}{0.75(0.5)}=10\,000\ \text{psi},\qquad \tau_{A_2}=59\,480+10\,000=69\,480\ \text{psi}$$ $$\delta=\frac{2\pi(2500)(1.2)^3(6)}{0.196(11\,500\,000)(0.75)(0.5)^3}=0.771\ \text{in}$$

承受變動負載時，可依上一節的方法設計，以 $K_c$ 估計應力集中。

補充：$A_1$ 的精確值為 69 264 psi（原講義 69 270）。兩點的應力幾乎相同，$A_2$ 略大；這是靜負載，未計曲率效應。

原圖對照（例題 4-6）

資料來源：原課程網頁 myCourse/courses/MachineDesign/Spring/HelicalSpring.htm（Microsoft FrontPage）；2026-10-31 重建為獨立網站，原圖中的數學式改以 LaTeX 重寫、示意圖以 SVG 重繪，原圖收在各節「原圖對照」；標示「補充」者為新增內容。說明文字、工作範圍設計的體積證明與 V/Vmin 圖為補充；定位彈簧、疲勞設計圖與矩形線材斷面依例題數值重繪；Table 4-6 改為 HTML 表格。