非圓斷面的扭轉Torsion of Non-Circular Sections
圓軸扭轉時斷面保持平面，\(\tau=Tr/J\)。非圓斷面受扭時斷面會翹曲（warping），應力分佈不再與半徑成正比，要用彈性理論（Saint-Venant 解）求得的係數計算。
矩形斷面 Rectangular Bars
長邊 \(b\)、短邊 \(c\)。最大剪應力在長邊中點 \(A_1\)，短邊中點 \(A_2\) 較小；角落的剪應力為 0。
$$\tau_{A_1}=\frac{T}{\alpha_1bc^2},\qquad \tau_{A_2}=\frac{T}{\alpha_2bc^2},\qquad \theta_1=\frac{T}{\beta Gbc^3}\quad(\text{單位長度扭轉角})$$| \(b/c\) | 1.00 | 1.20 | 1.50 | 1.75 | 2.00 | 2.50 | 3.00 | 4.00 | 5.00 | 6.00 | 8.00 | 10.00 | ∞ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\alpha_1\) | 0.208 | 0.219 | 0.231 | 0.239 | 0.246 | 0.258 | 0.267 | 0.282 | 0.291 | 0.299 | 0.307 | 0.312 | 0.333 |
| \(\alpha_2\) | 0.208 | 0.235 | 0.269 | 0.291 | 0.309 | 0.336 | 0.355 | 0.378 | 0.392 | 0.402 | 0.414 | 0.421 | … |
| \(\beta\) | 0.1406 | 0.166 | 0.196 | 0.214 | 0.229 | 0.249 | 0.263 | 0.281 | 0.291 | 0.299 | 0.307 | 0.312 | 0.333 |
補充：\(\alpha_1\)、\(\beta\) 來自 Saint-Venant 解的級數（\(n=1,3,5,\ldots\)）：
$$\beta=\frac13\left[1-\frac{192}{\pi^5}\frac cb\sum_n\frac{1}{n^5}\tanh\frac{n\pi b}{2c}\right],\qquad \alpha_1=\frac{\beta}{k},\qquad k=1-\frac{8}{\pi^2}\sum_n\frac{1}{n^2\cosh(n\pi b/2c)}$$本站驗證程式用級數重算整張表，誤差都在 0.001 以內。\(b/c\to\infty\)（薄板條）時 \(\alpha_1=\beta=1/3\)。教科書附的 Excel：Module 3-2（矩形斷面扭轉，含巨集）。
原圖對照（矩形斷面）
內角的應力集中 Stress Concentration at Corners
角鋼、薄壁方管等斷面受扭時，內角會產生應力集中；圓角半徑 \(r\) 相對壁厚 \(c\) 越小越嚴重：
| \(r/c\) | 0.125 | 0.25 | 0.50 | 0.75 | 1.00 | 1.25 | 1.50 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 角鋼 Angle | 2.72 | 2.00 | 1.63 | 1.57 | 1.56 | 1.57 | 1.60 |
| 方管 Square tube | 2.46 | 1.70 | 1.40 | 1.25 | 1.14 | 1.25 | 1.07 |
編註：方管 \(r/c=1.25\) 的 1.25 夾在 1.14 與 1.07 之間，數列不單調，疑為原表筆誤（依趨勢約 1.10），使用時請留意。
原圖對照（應力集中）
開口組合斷面 Composite Sections (Open)
把 I 形等開口斷面拆成數個矩形。各部分連在一起，單位長度扭轉角相同：
$$\theta_1=\frac{T_1}{\beta_1Gb_1c_1^3}=\frac{T_2}{\beta_2Gb_2c_2^3}=\frac{T_3}{\beta_3Gb_3c_3^3}\quad\Rightarrow\quad T_i=\theta_1G\beta_ib_ic_i^3$$各部分扭矩之和等於總扭矩：
$$T=T_1+T_2+T_3=\theta_1G\left(\beta_1b_1c_1^3+\beta_2b_2c_2^3+\beta_3b_3c_3^3\right)\quad\Rightarrow\quad \theta_1=\frac{T}{G\sum\beta_ib_ic_i^3}$$ $$T_i=\frac{T\,\beta_ib_ic_i^3}{\beta_1b_1c_1^3+\beta_2b_2c_2^3+\beta_3b_3c_3^3},\qquad \tau_i=\frac{T_i}{\alpha_{1,i}b_ic_i^2}$$翼板各分擔 47.0%（93 900 N·mm、\(\tau=30.1\) MPa），腹板只分擔 6.1%（12 200 N·mm、\(\tau=18.1\) MPa）。分擔比例和 \(c^3\) 成正比，最大剪應力出現在最厚的部分。
原圖對照（組合斷面）
閉口薄壁管 Thin-Walled Tubes
- \(A\)：管壁中心線所圍成的面積。A is the area enclosed by the line running through the center of the wall section.
- \(c\)：最窄處的壁厚（最大剪應力發生處）。c is the width of the narrowest wall.
- \(a\)：中心線沿管壁的長度；壁厚不同時分段計算 \(\sum a/c\)。a is the length of the center line around the wall.
補充：剪力流 \(q=\tau c\) 沿管壁固定，所以壁越薄處剪應力越大。薄壁圓管（半徑 \(R\)、壁厚 \(t\)）代入 \(A=\pi R^2\)、\(\sum a/c=2\pi R/t\)，得 \(\tau=T/2\pi R^2t\)、\(\theta_1=T/2\pi R^3tG\)，與 \(\tau=TR/J\)、\(J\approx2\pi R^3t\) 相同。
例：閉口與開口斷面的比較
(a) 閉口：中心線 3.75 × 1.75 in，\(A=6.5625\) in²，\(\sum a/c=11/0.25=44\)
$$T=2Ac\,\tau=3.28\,\tau,\qquad \theta_1=\frac{44\,T}{4(6.5625)^2G}=0.255\,\frac TG$$(b) 開口：攤平成 \(b=11\) in、\(c=0.25\) in 的薄板條（\(b/c=44\)，取 \(\alpha_1=\beta=1/3\)）
$$T=\alpha_1bc^2\,\tau=0.229\,\tau,\qquad \theta_1=\frac{T}{\beta Gbc^3}=17.45\,\frac TG$$閉口斷面的扭轉強度約為開口的 14 倍、扭轉剛性約 68 倍。只切開一條縫，薄壁管就失去大部分抗扭能力——承受扭轉的構件應盡量採用閉口斷面。
原圖對照（薄壁管）
例：空氣壓縮機的曲柄臂 Example: Crank Cheek
皮帶驅動的空氣壓縮機，連桿力 441.2 lb 在曲柄銷上分解為沿曲柄臂方向（\(y\)）的 351.5 lb 與切線方向（\(z\)）的 266.7 lb。求曲柄臂 1 in × 2 in 斷面上 R、S 兩點的應力。幾何與受力如下圖（原講義圖）：
補充（原講義只有圖與答案）：曲柄銷上的力作用點距斷面形心 \(x\) 方向 \(1\tfrac38\) in、\(y\) 方向 \(1\tfrac12\) in，得斷面內力（\(\sqrt{351.5^2+266.7^2}=441.2\) 確認分解正確）：
$$M_x=266.7(1.5)=400,\qquad T=M_y=266.7(1.375)=366.7,\qquad M_z=351.5(1.375)=483.3\ \text{in·lb}$$ $$A=2\ \text{in}^2,\qquad I_x=\frac{1(2)^3}{12}=0.667\ \text{in}^4,\qquad I_z=\frac{2(1)^3}{12}=0.167\ \text{in}^4,\qquad \frac bc=2:\ \alpha_1=0.246,\ \alpha_2=0.309$$R 點（短邊中點）：
$$\sigma_R=\frac{M_x(1)}{I_x}-\frac{F_y}{A}=600-175.8=424\ \text{psi},\qquad \tau_R=\frac{T}{\alpha_2bc^2}=\frac{366.7}{0.309(2)(1)^2}=593\ \text{psi}$$S 點（長邊中點，在中性軸上，另有剪力 \(F_z\) 的最大橫向剪應力 \(\tfrac32F_z/A\)，方向與扭轉剪應力相反）：
$$\sigma_S=\frac{M_z(0.5)}{I_z}-\frac{F_y}{A}=1450-175.8=1274\ \text{psi},\qquad \tau_S=\frac{366.7}{0.246(2)(1)^2}-\frac32\cdot\frac{266.7}{2}=745-200=545\ \text{psi}$$原圖對照（曲柄臂）
