機械設計 Machine Design

臨界轉速、兩平面彎曲與三支承軸Critical Speed, Bending in Two Planes & Three Bearings

旋轉軸的臨界轉速 Critical Speed

旋轉軸在某些轉速會變得動態不穩定、產生很大的振動，這個轉速稱為臨界轉速。振動理論證明：軸不轉時的橫向自由振動頻率，就等於它的臨界轉速。振動問題最常發生在最低的（基本）臨界轉速。兩支承的軸，基本臨界轉速可用下式估算：
Rotating shafts become dynamically unstable at certain speeds, and large vibrations are likely to develop. The speed at which this phenomenon occurs is called a critical speed.

$$f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g\left(W_1y_1+W_2y_2+W_3y_3+\cdots\right)}{W_1y_1^2+W_2y_2^2+W_3y_3^2+\cdots}}\quad\text{cycles/s},\qquad g=386\ \text{in/s}^2$$

\(W_1,W_2,\ldots\) 是轉子（齒輪、皮帶輪等）的重量，\(y_1,y_2,\ldots\) 是各重量位置的靜撓度（所有重量同時作用時）。

補充：這是 Rayleigh 法——假設振動形狀等於靜撓度曲線，令最大動能等於最大位能而得。只有一個轉子時化簡為 \(f=\frac1{2\pi}\sqrt{g/y}\)。假設的振形不是真正的振形，所以 Rayleigh 法求得的基本頻率會略高於真值（上限）。

例：兩個轉子的軸

求下圖軸的基本臨界轉速，\(E=30\,000\,000\) psi，軸徑 2 in。

W1​ = 80 lbW2​ = 120 lb30 in40 in20 inxyyA​ = 0.07922 inyB​ = 0.06262 in

各點撓度用簡支梁受集中力的公式（\(P\) 距左端 \(a\)、距右端 \(b\)）疊加：

PR₁ = Pb/lR₂ = Pa/labxVPb/l−Pa/lxMPab/lxyymax​
$$y=\frac{Pbx}{6lEI}\left(l^2-b^2-x^2\right)\ (x\le a),\qquad y=\frac{Paz}{6lEI}\left(l^2-a^2-z^2\right)\ (z=l-x),\qquad I=\frac{\pi d^4}{64}=\frac{\pi}{4}=0.7854\ \text{in}^4$$

A 點（\(x=30\)）：

$$y_{A,80}=\frac{80\times60\times30}{6\times90\times30\,000\,000\times0.7854}\left(90^2-60^2-30^2\right)=0.04074,\qquad y_{A,120}=\frac{120\times20\times30}{6\times90\times30\,000\,000\times0.7854}\left(90^2-20^2-30^2\right)=0.03848$$ $$y_A=0.04074+0.03848=0.07922\ \text{in}$$

B 點（\(x=70\)）：

$$y_{B,80}=\frac{80\times30\times20}{6\times90\times30\,000\,000\times0.7854}\left(90^2-30^2-20^2\right)=0.02565,\qquad y_{B,120}=\frac{120\times20\times70}{6\times90\times30\,000\,000\times0.7854}\left(90^2-70^2-20^2\right)=0.03697$$ $$y_B=0.02565+0.03697=0.06262\ \text{in}$$ $$f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{386\left(80\times0.07922+120\times0.06262\right)}{80\times0.07922^2+120\times0.06262^2}}=11.80\ \text{cycles/s},\qquad n_{cr}=11.80\times60=708\ \text{rpm}$$

正常工作轉速應明顯高於或低於臨界轉速。The normal operating speed for a shaft should be considerably above or below the value of a critical speed.

編註：原講義分母寫成「W80 × …」，多了一個 W。補充：本站以數值積分 \(EIy''=M\) 求得的撓度與上面公式結果相同（0.07922、0.06262 in）；把兩個轉子當成兩自由度系統解特徵值，精確的基本臨界轉速為 707.4 rpm，Rayleigh 法的 708 rpm 略高，與理論一致。

原圖對照（臨界轉速）
臨界轉速、兩平面彎曲與三支承軸
臨界轉速、兩平面彎曲與三支承軸
臨界轉速、兩平面彎曲與三支承軸
臨界轉速、兩平面彎曲與三支承軸
臨界轉速、兩平面彎曲與三支承軸

兩平面的彎曲 Bending Loads in Two Planes

軸上兩個皮帶輪的皮帶分別與水平成 60° 與 45°，求軸的最大彎矩。軸承 \(R_1\) 在左端，左輪距 \(R_1\) 18 in、受皮帶合力 \(F_1+F_2=3000\) lb；軸承 \(R_2\) 再往右 24 in；右輪在 \(R_2\) 右側 16 in 的懸臂端，受 2000 lb。

水平垂直3000 lb1500259860°左輪（x = 18 in）水平垂直2000 lb1414141445°右輪（x = 58 in）

力不在同一平面時，把每個力分解成水平與垂直分量，兩個平面各自求反力與彎矩圖：

15001414R1​ = 1396R2​ = 1310（向下）18 in24 in16 inxMH​25,12622,627 25981414R1​ = 2023R2​ = 840（向下）18 in24 in16 inxMV​36,42122,627

圓軸任何方向的抗彎能力相同，所以同一斷面兩個平面的彎矩可以向量相加。最大合成彎矩發生在左輪處：

$$M_{max}=\sqrt{M_H^2+M_V^2}=\sqrt{25\,126^2+36\,421^2}=44\,250\ \text{in·lb}$$

右軸承處：\(\sqrt{22\,627^2+22\,627^2}=32\,000\) in·lb，較小。

編註：原講義取反力整數（1396、2024 lb）得 \(M_H=25\,128\)、\(M_V=36\,432\)，並寫成 \(\sqrt{25\,130^2+36\,430^2}=44\,290\)；這個開方的正確值是 44 257，與上面的精確值 44 247 都差不到 0.03%。補充：合成彎矩的最大值必須在每個負載點都算一次再比較，因為兩個平面的最大值不一定在同一斷面。

原圖對照（兩平面彎曲）
臨界轉速、兩平面彎曲與三支承軸
臨界轉速、兩平面彎曲與三支承軸
臨界轉速、兩平面彎曲與三支承軸

三支承軸 Shaft on Three Bearings

三個軸承的軸是靜不定的：平衡方程只能求出 \(2R_1+R_2=2000\) lb，還需要變形條件。做法是先拿掉中間軸承，用重疊法讓中點撓度符合實際支承條件。

例 1：三個軸承等高

R₁R₂R₁1000 lb1000 lbEI = 120 000 000 lb·in²36 in36 in120 in只有負載：中點下垂 0.4752 in只有 R₂（向上）：中點上升 0.0003 R₂兩者疊加後中點撓度為 0（三個支承等高）⇒ R₂ = 1584 lb

只有兩個 1000 lb 負載時（\(a=36\) in），中點下垂：

$$y_P=\frac{Pa}{24EI}\left(3l^2-4a^2\right)=\frac{1000\times36}{24\times120\,000\,000}\left(3\times120^2-4\times36^2\right)=0.4752\ \text{in}$$

只有中間向上的 \(R_2\) 時，中點上升：

$$y_R=\frac{R_2l^3}{48EI}=\frac{R_2\times120^3}{48\times120\,000\,000}=0.0003\,R_2$$

三個軸承等高 ⇒ 疊加後中點撓度為 0：

$$0.0003\,R_2=0.4752\quad\Rightarrow\quad R_2=1584\ \text{lb},\qquad R_1=\frac{2000-1584}{2}=208\ \text{lb}$$

編註：原講義寫成 \(y=\frac{R_2l^3}{48EI}=2\frac{R_2\times120^3}{48\times120\,000\,000}\)，等號後多了一個「2」；實際使用的 0.0003 \(R_2\) 是沒有 2 的值。

例 2：中間軸承低 0.050 in

向上的撓度比負載造成的下垂少 0.050 in：

$$0.0003\,R_2+0.0500=0.4752\quad\Rightarrow\quad R_2=1417.3\ \text{lb},\qquad R_1=291.3\ \text{lb}$$

例 3：中間軸承為彈性支座

k = 20 000 lb/in1000 lb1000 lb

中間軸承下方的結構可視為彈簧 \(k=20\,000\) lb/in。拿掉彈簧後中點下垂 0.4752 in，彈簧力 \(R_2'\) 讓中點上升 \(0.0003R_2'\)；剩下的下垂量就是彈簧的壓縮量：

$$\left(0.4752-0.0003R_2'\right)\times20\,000=R_2'\quad\Rightarrow\quad R_2'(1+6)=9504\quad\Rightarrow\quad R_2'=1357.7\ \text{lb}$$

檢核：\(R_2'\) 造成的上升 \(0.0003\times1357.7=0.4073\) in，\((0.4752-0.4073)\times20\,000=1357.7\) lb。

實際上，軸承座、機架等支撐結構的彈性變形，常常必須當成彈簧一起考慮。

補充：中間軸承只要低 0.05 in，反力就少約 167 lb（\(0.05/0.0003\)）；彈性支座也讓它少了 226 lb，兩端軸承相應增加。多支承軸的反力對對心誤差與支撐剛性非常敏感，安裝時要嚴格對心。

原圖對照（三支承軸）
臨界轉速、兩平面彎曲與三支承軸
臨界轉速、兩平面彎曲與三支承軸
臨界轉速、兩平面彎曲與三支承軸