橡膠彈簧Rubber Springs
橡膠不遵守虎克定律：變形越大越硬。它的彈性係數取決於硬度計（durometer）讀數 \(D\)；Smith 建議的關係為
$$E=50.8\,e^{0.033D}\ \text{psi},\qquad 24\le D\le72$$壓縮的彈性係數 \(E\) 約為剪力彈性係數 \(G\) 的 3 倍，\(E=3G\)。補充：橡膠幾乎不可壓縮（蒲松比接近 0.5），由 \(E=2G\left(1+\nu\right)\) 也得 \(E\approx3G\)。
原圖對照（硬度與彈性係數）
壓縮塊 Rubber in Compression
上圖 (a) 的矩形橡膠塊常當作壓縮彈簧使用。基準是 1 in 立方、55 度橡膠（上下黏著鋼板）的載重–撓度曲線：
根據大量試驗，厚 \(h\)、受力面積 \(A\)、硬度 \(D=N\) 的橡膠塊，其撓度百分比的經驗式為
$$\alpha_N=\frac{\alpha_{55}E_{55}}{E_N}\times\frac{\left(h\beta\right)^{2/3}}{\sqrt A}$$\(\alpha_{55}\) 是 1 in 立方 55 度橡膠在同樣單位載重 \(P/A\) 下的撓度百分比（由上圖），\(E_{55}=313\) psi，\(E_N\) 為硬度 \(N\) 的彈性係數，\(\beta\) 為受力面長邊與短邊之比。
教科書附的 Excel 計算表：Module 4-2（1 in 立方 55 度橡膠的載重–撓度，含巨集）。它用 Shoup & Sanchez 對 Smith 曲線的近似式
$$\frac PA=3.265\,\alpha_{55}+0.02549\,\alpha_{55}^2+0.06356\left(e^{0.09643\alpha_{55}}-e^{-3.982\alpha_{55}}\right)\quad\text{（psi，}0<\alpha_{55}<80\%\text{）}$$由撓度求載重；反過來由載重求撓度則以黃金分割搜尋求解。上面的曲線就是用這個式子畫的。
原圖對照（1 in 立方曲線與經驗式）
例題 4-11 Example 4-11
3 × 6 in、厚 1 in 的 65 度橡膠塊承受 5000 lb，求撓度百分比。
由 1 in 立方曲線（或 Module 4-2），278 psi 對應 \(\alpha_{55}=56.2\%\)：
$$\alpha=\frac{56.2(313)(1\times2)^{2/3}}{434\sqrt{3\times6}}=15.16\%$$對其他載重重複這個計算，就能畫出這塊橡膠彈簧的載重–撓度圖。
補充：撓度 \(0.1516\times1=0.152\) in。式中 \(E_{55}=313\) psi 取自原講義；由 \(E=50.8e^{0.033D}\) 算得 312 psi，差異可忽略。
原圖對照（例題 4-11）
剪切 Rubber in Shear
上圖 (b)：中間的鋼板被推下，兩片橡膠（各面積 \(A\)、厚 \(h\)）受剪。剪應變與撓度：
$$\gamma=\frac\tau G=\frac P{2AG},\qquad \delta=h\tan\gamma\approx h\gamma=\frac{Ph}{2AG}$$原圖對照（剪切）
襯套 Bushings
上圖 (c)：內軸半徑 \(r_i\)、外環半徑 \(r_o\)、軸向長度 \(h\)，中間填滿橡膠。
軸向力 Axial Load
半徑 \(r\) 處的圓柱面承受剪力 \(P\)，面積 \(2\pi rh\)：
$$\tau=G\gamma=\frac P{2\pi rh},\qquad \gamma=\frac P{2\pi rhG}=\frac br,\qquad b=\frac P{2\pi hG}$$\(\gamma<0.4\) 時 \(\tan\gamma\approx\gamma\)。沿半徑積分斜率 \(dy/dr=-b/r\)：
$$\delta=-\int_{r_o}^{r_i}\frac br\,dr=b\ln\frac{r_o}{r_i}=\frac P{2\pi hG}\ln\frac{r_o}{r_i}$$原圖對照（軸向）
扭轉 Torsion
扭矩 \(M\) 由半徑 \(r\) 處的圓柱面以剪力傳遞，力臂 \(r\)：
$$\tau=\frac FA=\frac{M/r}{2\pi rh}=\frac M{2\pi r^2h},\qquad \tau_{max}=\frac M{2\pi r_i^2h}$$厚 \(dr\) 的一層剪應變 \(\gamma\)，兩面相對轉動 \(r\,d\theta=dr\tan\gamma\approx\gamma\,dr\)：
$$\gamma=\frac\tau G=\frac M{2\pi r^2hG}=\frac c{r^2},\quad c=\frac M{2\pi hG},\qquad d\theta=\frac{\gamma\,dr}r=\frac c{r^3}\,dr$$ $$\theta=\int_{r_i}^{r_o}\frac c{r^3}\,dr=\left.-\frac c{2r^2}\right|_{r_i}^{r_o}=\frac c2\left(\frac1{r_i^2}-\frac1{r_o^2}\right)=\frac M{4\pi hG}\left(\frac1{r_i^2}-\frac1{r_o^2}\right)$$編註：原講義積分 \(\int c\,r^{-3}dr\) 時寫成 \(-c/r^2\)，漏了係數 1/2，所以最後的 \(\theta=\dfrac M{2\pi hG}\left(\dfrac1{r_i^2}-\dfrac1{r_o^2}\right)\) 是正確值的 2 倍。上面已更正為 \(\dfrac M{4\pi hG}\)。
原圖對照（扭轉）
