機械設計 Machine Design

彎曲Bending

梁受彎矩 \(M\) 時，截面上產生沿長度方向的彎曲正向應力。本節推導 \(\sigma=My/I\)，再看截面不對稱時的處理，最後由彎矩求梁的撓度（Deflection）。

純彎曲的變形 Pure Bending

M0M0 上緣縮短（受壓） 下緣伸長（受拉） 中性面：長度不變

編註：原講義第一張圖畫的是上凸（負彎矩）的情形，上緣伸長；這裡改畫成與第 3 章符號規則一致的正彎矩，結論相同、只是拉壓對調。

應變與應力 Strain and Stress

O dφ r v 中性面 σσ 曲率中心

中性面半徑 \(r\)、兩截面夾角 \(d\phi\)。離中性面 \(v\) 處的纖維原長 \(r\,d\phi\)（與中性面相同），變形後長 \((r+v)\,d\phi\)：

$$\varepsilon=\frac{(r+v)\,d\phi-r\,d\phi}{r\,d\phi}=\frac vr$$

曲率 \(\kappa=1/r\)，代入虎克定律：

$$\sigma=E\varepsilon=E\,\frac vr\ \Rightarrow\ \boxed{\sigma=\kappa Ev}$$

應變與應力都和離中性面的距離 \(v\) 成正比（線性分佈）。

原圖對照（變形與應變）
彎曲
彎曲
彎曲

彎曲公式 Flexure Formula

中性軸 壓拉 z v c

截面上沒有軸力：

$$\int_A\sigma\,dA=\kappa E\int_A v\,dA=0\ \Rightarrow\ \int_A v\,dA=0$$

⇒ 中性軸通過截面形心。應力對中性軸的力矩等於 \(M\)：

$$M=\int_A v\,\sigma\,dA=\kappa E\int_A v^2\,dA\ \Rightarrow\ \boxed{M=\kappa EI_{N.A.}}$$

與 \(\sigma=\kappa Ev\) 消去 \(\kappa\)：

$$\boxed{\sigma=\frac{Mv}{I_{N.A.}}}$$
綜合應用：負載偏離截面形心時，會同時產生拉力與彎矩，見 綜合例題：偏心連桿。
原圖對照（彎曲公式）
彎曲
彎曲

非對稱彎曲 Unsymmetric Bending

若彎矩不是繞截面的主軸作用（例如 Z 形、角鋼、Γ 形這類沒有對稱軸的截面），要先把 \(M\) 分解到兩個主軸上，各自用 \(\sigma=Mv/I\) 計算再疊加。此時中性軸不會與彎矩軸平行。

z y z′ y′ 中性軸 26.6° 36.9° P 0.06 m 0.02 0.08 0.02

原講義的例子：Γ 形截面（上翼 0.06×0.02 m、右側腹板 0.02×0.06 m），彎矩 \(M\) 繞水平的 z 軸作用。補充計算（座標原點在形心，y 向下）：

$$I_z=1.36,\quad I_y=0.64,\quad I_{yz}=0.48\quad(\times10^{-6}\ \text{m}^4)$$ $$\tan2\theta_p=\frac{2I_{yz}}{I_z-I_y}=\frac43\ \Rightarrow\ \theta_p=26.6^\circ$$ $$I_{max}=1.6,\qquad I_{min}=0.4\quad(\times10^{-6}\ \text{m}^4)$$

直接解平衡（\(\int\sigma\,dA=0\)、\(\int\sigma y\,dA=M\)、\(\int\sigma z\,dA=0\)）得

$$\sigma=\frac{M\left(I_y\,y-I_{yz}\,z\right)}{I_yI_z-I_{yz}^2}$$
原圖對照（非對稱彎曲）
彎曲
彎曲
彎曲
彎曲

撓度 Deflection

x y ρdθ θ θ + dθ dxds
$$ds=\rho\,d\theta,\quad ds\approx dx\ \Rightarrow\ \frac{d\theta}{dx}=\frac1\rho=\kappa$$ $$y'=\tan\theta\approx\theta,\qquad y''=\frac{d\theta}{dx}=\kappa$$ $$M=\kappa EI_{N.A.}\ \Rightarrow\ \boxed{M=EI\,y''}\quad(y\text{ 向上})$$

原講義的撓度推導取 y 向下為正，此時 \(y''=-\kappa\)：

$$M=-EI\,y''\ \Rightarrow\ y''=-\frac{M}{EI}$$

積分兩次，再用邊界條件（支承處的位移、斜率）決定兩個積分常數：

$$y'=-\int\frac{M}{EI}\,dx+c_1,\qquad y=-\iint\frac{M}{EI}\,dx\,dx+c_1x+c_2$$
原圖對照（曲率與撓度方程）
彎曲
彎曲
彎曲

例：懸臂梁自由端受集中力

PR = PMO​ = PllxVPxM−Plxyymax​ = Pl³/3EI

彎矩為 x 的一次式，由兩端條件 \(M(0)=-Pl\)、\(M(l)=0\) 求係數（或直接取右段：\(M=-P(l-x)\)）：

$$M(x)=k_1x+k_2,\quad k_2=-Pl,\quad k_1l-Pl=0\Rightarrow k_1=P\ \Rightarrow\ M(x)=Px-Pl$$ $$y'=-\int\frac{M}{EI}dx+c_1=\frac{P}{EI}\left(lx-\tfrac12x^2\right)+c_1,\qquad y=\frac{P}{EI}\left(\tfrac12lx^2-\tfrac16x^3\right)+c_1x+c_2$$

固定端 \(y(0)=0\)、\(y'(0)=0\) ⇒ \(c_1=c_2=0\)：

$$y(x)=\frac{P}{6EI}\left(3lx^2-x^3\right),\qquad \theta(x)=\frac{P}{2EI}\left(2lx-x^2\right)$$ $$\boxed{y_{max}=y(l)=\frac{Pl^3}{3EI}},\qquad \boxed{\theta_2=\theta(l)=\frac{Pl^2}{2EI}}$$
原圖對照（懸臂梁）
彎曲
彎曲
彎曲
彎曲

例：簡支梁受集中力（撓度表）

PR₁ = Pb/lR₂ = Pa/labxVPb/l−Pa/lxMPab/lxyymax​
$$R_1=\frac{Pb}{l},\quad R_2=\frac{Pa}{l},\qquad M_{max}=\frac{Pab}{l}$$ $$\theta_1=\frac{Pab(l+b)}{6lEI},\qquad y_1=\frac{Pbx}{6lEI}\left(l^2-b^2-x^2\right)\quad(0\le x\le a)$$ $$\theta_2=\frac{Pab(l+a)}{6lEI},\qquad y_2=\frac{Paz}{6lEI}\left(l^2-a^2-z^2\right)\quad(0\le z\le b,\ z\text{ 自右端量起})$$
原圖對照（撓度表）
彎曲

補充例題 Example

鋼製矩形懸臂梁，寬 20 mm、高 40 mm（負載方向）、長 \(l=500\) mm，自由端受 \(P=1\) kN，\(E=200\) GPa： $$I=\frac{20(40)^3}{12}=106\,667\ \text{mm}^4,\qquad \sigma_{max}=\frac{Mc}{I}=\frac{1000(500)(20)}{106\,667}=93.75\ \text{MPa}$$ $$y_{max}=\frac{Pl^3}{3EI}=\frac{1000(500)^3}{3(200\,000)(106\,667)}=1.95\ \text{mm}$$

若把同一根梁「平放」（高 20 mm），\(I\) 變成 1/4，應力加倍、撓度變成 4 倍。