扭轉Torsion
傳遞動力的軸（例如汽車的傳動軸，見差速器動畫中通往變速箱的紫色軸）承受的主要負載是扭矩（Torque）\(T\)。本節推導圓軸受扭時的剪應力與扭轉角。
扭矩與符號 Torque
- 扭矩可以畫成彎曲箭頭，也可以用雙箭頭向量表示（右手定則：四指沿旋轉方向，拇指所指為向量方向）。
- 符號規則：扭矩向量指離截面（朝外法線方向）為正。上圖兩端扭矩大小相等、方向相反，整根軸處於平衡，任一截面的內扭矩都是 \(T\)。
原圖對照（扭矩）
變形幾何 Deformation
相距 \(dx\) 的兩個截面相對轉動 \(d\phi\)，表面上的點 b 移到 b′。同一段弧長，從側面看是 \(\gamma\,dx\)，從端面看是 \(\rho\,d\phi\)：
$$\rho\,d\phi=\gamma\,dx\ \Rightarrow\ \gamma=\frac{\rho\,d\phi}{dx}\qquad(\text{剪應變與半徑 }\rho\text{ 成正比，外表面 }\rho=r\text{ 時最大})$$
原圖對照（變形幾何）
剪應力 Shear Stress
在線彈性範圍內，剪力的虎克定律 \(\tau=G\gamma\)，代入上面的幾何關係：
$$\tau=G\gamma=G\,\frac{\rho\,d\phi}{dx}\qquad\qquad(1)$$
- 互補剪應力：小元素的力矩平衡要求截面上的 \(\tau_{xy}\) 與縱向面上的 \(\tau_{yx}\) 大小相等。所以軸的縱向截面上也有同樣大小的剪應力，這也是木材等纖維方向較弱的材料受扭時會沿縱向裂開的原因。
原圖對照（剪應力）
扭轉公式 Torsion Formula
截面上每一塊 \(dA\) 的剪力 \(\tau\,dA\) 對軸心的力矩加起來，要等於內扭矩 \(T\)：
$$T=\int_A\rho\,\tau\,dA=\int_A\rho\cdot G\,\frac{\rho\,d\phi}{dx}\,dA=\frac{G\,d\phi}{dx}\int_A\rho^2\,dA\ \Rightarrow\ T=\frac{G\,d\phi}{dx}\,J\qquad(2)$$
其中 \(J=\int_A\rho^2\,dA\) 正是第 2 章的極慣性矩。由 (1)÷(2) 消去 \(d\phi/dx\)，再由 (2) 積分：
$$\boxed{\tau=\frac{T\rho}{J}}\qquad\qquad d\phi=\frac{T}{GJ}\,dx\ \Rightarrow\ \phi=\int_0^L\frac{T}{GJ}\,dx\ \Rightarrow\ \boxed{\phi=\frac{TL}{GJ}}$$
- 剪應力沿半徑線性增加，中心為 0、表面最大：\(\tau_{max}=\dfrac{Tr}{J}\)。
- 實心圓軸 \(J=\dfrac{\pi d^4}{32}\)，所以 \(\tau_{max}=\dfrac{16T}{\pi d^3}\)。
- \(GJ\) 稱為扭轉勁度；扭轉角 \(\phi\) 的單位是 rad。
原圖對照（扭轉公式）
補充 Notes
補充例題 實心鋼軸 \(d=40\) mm、長 \(L=1.2\) m，傳遞扭矩 \(T=500\) N·m，\(G=80\) GPa：
$$J=\frac{\pi(40)^4}{32}=251\,327\ \text{mm}^4,\qquad \tau_{max}=\frac{Tr}{J}=\frac{500\,000(20)}{251\,327}=39.8\ \text{MPa}$$
$$\phi=\frac{TL}{GJ}=\frac{500\,000(1200)}{80\,000(251\,327)}=0.0298\ \text{rad}=1.71^\circ$$
若轉速 \(n=1500\) rpm，傳遞功率 \(P=T\omega=500\times\dfrac{2\pi(1500)}{60}=78.5\) kW。
- 功率與扭矩：\(P=T\omega\)，\(\omega=\dfrac{2\pi n}{60}\)（\(n\)：rpm）。同樣功率下轉速越高、扭矩越小，所以高速軸可以較細。
- 空心軸（外徑 \(D\)、內徑 \(d\)）：\(J=\dfrac{\pi(D^4-d^4)}{32}\)，\(\tau_{max}=\dfrac{16TD}{\pi(D^4-d^4)}\)。上例改用 \(D=40\)、\(d=30\) mm 的空心軸：\(J=171\,806\) mm⁴、\(\tau_{max}=58.2\) MPa、內壁 \(\tau_{min}=43.7\) MPa。材料只用 43.8%，扭轉勁度仍保留 68.4%：中心附近的材料應力小、貢獻少。
- 分段軸：各段 \(T\)、\(G\)、\(J\) 不同時，\(\phi=\sum\dfrac{T_iL_i}{G_iJ_i}\)。
- 適用條件：圓形（實心或空心）截面、線彈性、截面變形後仍保持平面且半徑保持直線。非圓形截面（矩形、鍵槽處）受扭時截面會翹曲，這些公式不適用；鍵槽、軸肩等處另有應力集中。