疲勞（二）：平均應力、等效應力與有限壽命Fatigue II — Mean Stress, Equivalent Stress and Finite Life

耐久限度 $S_e$ 是在完全反覆（$\sigma_{av}=0$）的試驗中量得的。實際機件的應力通常是「平均應力 $\sigma_{av}$＋交變應力 $\sigma_r$」（$\sigma_{av}$、$\sigma_r$ 即疲勞（一）的 $\sigma_m$、$\sigma_A$），平均應力越大，能承受的交變應力越小。本頁說明怎麼把兩者合起來判斷。

Goodman 線 Goodman Line

橫軸為平均應力 $\sigma_{av}$（$x$），縱軸為交變應力 $\sigma_r$（$y$）。純交變時以 $S_e$ 為界（縱軸截距），純靜態時以 $S_{ut}$ 為界（橫軸截距），兩點連成直線即為 Goodman 線： $$\frac{x}{S_{ut}}+\frac{y}{S_e}=1$$
交變應力要乘上疲勞應力集中因數 $K_f$（平均應力對延性材料通常不乘）。應力點 $(\sigma_{av},K_f\sigma_r)$ 沿過原點的負載線放大 $n$ 倍剛好落在 Goodman 線上，$n$ 就是安全係數：

$$\boxed{\frac{n\,\sigma_{av}}{S_{ut}}+\frac{n\,K_f\,\sigma_r}{S_e}=1}$$

原圖對照（Goodman 線）

加上降伏線 Yield Line

Goodman 線靠近橫軸的部分，最大應力 $\sigma_{av}+\sigma_r$ 會超過降伏強度——還沒疲勞就先降伏了。所以再加一條降伏線 $\sigma_{av}+\sigma_r=S_{yt}$（兩軸截距都是 $S_{yt}$），安全區取兩條線底下的共同區域（黃色）。

原圖對照（降伏線）

Soderberg 線與等效應力 Soderberg Line

把 Goodman 線在橫軸的端點從 $S_{ut}$ 改成 $S_{yt}$，一條直線就同時避開疲勞與降伏，這是 Soderberg 線（較保守、但使用簡單）：

$$\frac{x}{S_{yt}}+\frac{y}{S_e}=1\qquad\Rightarrow\qquad \frac{n\,\sigma_{av}}{S_{yt}}+\frac{n\,K_f\,\sigma_r}{S_e}=1$$

兩邊乘 $S_{yt}/n$：

$$\boxed{\sigma_{equiv}=\sigma_{av}+K_f\,\sigma_r\left(\frac{S_{yt}}{S_e}\right)=\frac{S_{yt}}{n}}$$

$\sigma_{equiv}$ 稱為等效應力：交變部分乘以 $K_fS_{yt}/S_e$ 換算成「靜應力」後與平均應力相加，就可以像靜負載一樣直接跟 $S_{yt}$ 比較。

受變動剪應力（例如扭轉）時完全類似，改用剪降伏強度 $S_{ys}$ 與剪耐久限度 $S_{es}$：

$$\frac{n\,\tau_{av}}{S_{ys}}+\frac{n\,K_f\,\tau_r}{S_{es}}=1\qquad\Rightarrow\qquad \boxed{\tau_{equiv}=\tau_{av}+K_f\,\tau_r\left(\frac{S_{ys}}{S_{es}}\right)=\frac{S_{ys}}{n}}$$

編註：原圖剪應力版的直線方程寫成 $x/S_{ys}+y/S_e=1$，縱軸截距應為 $S_{es}$，已更正。補充：$S_{ys}$、$S_{es}$ 常依破壞理論取 $0.5$（Tresca）或 $0.577$（von Mises）倍的 $S_{yt}$、$S_e$，所以 $S_{ys}/S_{es}=S_{yt}/S_e$。

原圖對照（Soderberg 線）

正向與剪應力同時變動 Equivalent Stress

先用 Soderberg 式把正向應力與剪應力各自換算成等效靜應力：

$$\sigma_{equiv}=\sigma_{av}+K_f\,\sigma_r\left(\frac{S_{yt}}{S_e}\right),\qquad \tau_{equiv}=\tau_{av}+K_f\,\tau_r\left(\frac{S_{ys}}{S_{es}}\right)$$

再把 $(\sigma_{equiv},\tau_{equiv})$ 當成靜負載的平面應力（$\sigma_x=\sigma_{equiv}$、$\sigma_y=0$、$\tau_{xy}=\tau_{equiv}$），套用延性材料的破壞理論：

最大剪應力理論（Tresca）

$$\tau_{max}=\sqrt{\left(\frac{\sigma_{equiv}}{2}\right)^2+\tau_{equiv}^2}=\frac{S_{yt}}{2n}$$

最大畸變能理論（von Mises）

$$\sigma'=\sqrt{\frac{\left(\sigma_1-\sigma_2\right)^2+\left(\sigma_2-\sigma_3\right)^2+\left(\sigma_3-\sigma_1\right)^2}{2}}=\sqrt{\sigma_{equiv}^2+3\tau_{equiv}^2}=\frac{S_{yt}}{n}$$

$\tau_{max}$ 的式子是平面應力莫爾圓半徑（$\sigma_y=0$）；$\sigma'$ 的第二個等號用了最大畸變能理論的 $\sigma_x,\tau_{xy}$ 形式（補充）。

補充例題：旋轉軸　鋼 $S_{yt}=450$ MPa、修正後 $S_e=250$ MPa、$K_f=1.8$。軸旋轉使彎曲應力完全反覆：$\sigma_{av}=0$、$\sigma_r=60$ MPa；傳遞固定扭矩：$\tau_{av}=80$ MPa、$\tau_r=0$。 $$\sigma_{equiv}=0+1.8(60)\frac{450}{250}=194.4\ \text{MPa},\qquad \tau_{equiv}=80\ \text{MPa}$$ $$\text{von Mises：}\ \sigma'=\sqrt{194.4^2+3(80)^2}=238.7\ \text{MPa}\ \Rightarrow\ n=\frac{450}{238.7}=1.88$$ $$\text{Tresca：}\ \tau_{max}=\sqrt{97.2^2+80^2}=125.9\ \text{MPa}\ \Rightarrow\ n=\frac{450}{2(125.9)}=1.79$$

彎曲應力雖然只有 60 MPa，乘上 $K_fS_{yt}/S_e=3.24$ 後成為主要項——旋轉軸的設計通常由交變的彎曲應力主導。第 7 章設計軸徑時會用到這個方法。

原圖對照（等效應力）

有限壽命 Finite Life

應力高於耐久限度時，機件只能承受有限次循環。S-N 線在 $10^3$–$10^6$ 次之間取 Basquin 式（見疲勞（一）的對數座標圖）：

$$\sigma_r=A\,N^{B}\quad\Rightarrow\quad \log\sigma_r=\log A+B\log N$$

兩個已知點：$\sigma_r=0.9S_{ut}$ 時 $N=1000$；$\sigma_r=S_e$ 時 $N=10^6$。代入相減：

$$\boxed{B=\frac{\log S_e-\log\left(0.9S_{ut}\right)}{3},\qquad A=\frac{S_e}{10^{6B}}}$$

有平均應力時，先換算成等效完全反覆應力 $\sigma_R$：假設破壞線都通過 $(S_{ut},0)$，過該點與應力點 $M(\sigma_{av},K_f\sigma_r)$ 的直線延伸到縱軸，截距就是 $\sigma_R$：

$$\frac{y}{x-S_{ut}}=\frac{K_f\sigma_r}{\sigma_{av}-S_{ut}}\qquad x=0\ \Rightarrow\ y=\boxed{\sigma_R=\frac{K_f\,\sigma_r\,S_{ut}}{S_{ut}-\sigma_{av}}}$$

再由 Basquin 式求壽命（補充）：

$$N=\left(\frac{\sigma_R}{A}\right)^{1/B}$$

圖中「假設的破壞線」由 $S_e$ 沿 Goodman 線到 C 點，再沿 45° 降伏線到 $S_{yt}$。教科書附的 Excel 計算表：Module 2-21（Basquin 係數與壽命）、Module 2-22（有限壽命的等效應力），含巨集。

原圖對照（有限壽命）

Miner 法則 Miner's Equation

機件可能在一段壽命中承受某一種應力、另一段承受另一種應力……每一組 $\sigma_{av}$、$\sigma_r$ 都可以換算成等效完全反覆應力 $\sigma_{R1},\sigma_{R2},\sigma_{R3},\dots$。設 $\sigma_{R1}$ 單獨作用時的疲勞壽命為 $N_1$ 次，實際施加了 $n_1$ 次，則 $\sigma_{R1}$ 用掉了機件壽命的 $n_1/N_1$。其餘各段同理，各段比例加總等於全部壽命：

A machine part may have one stress for a portion of its life, another stress for another portion, and so on. … The sum of the proportions constitutes the entire life.

$$\boxed{\frac{n_1}{N_1}+\frac{n_2}{N_2}+\frac{n_3}{N_3}+\cdots=1}$$

例題　材料 $S_{ut}=90\,000$ psi、$S_e=40\,000$ psi，$K_f=1.5$。已承受 320 000 次 $\sigma_{av}=45\,000$、$\sigma_r=13\,641$ psi，以及 18 600 次 $\sigma_{av}=35\,000$、$\sigma_r=20\,787$ psi。改為 $\sigma_{av}=48\,000$、$\sigma_r=15\,000$ psi 時，還能承受幾次？

補充（原講義只有題目）：

$$B=\frac{\log40\,000-\log81\,000}{3}=-0.10214,\qquad A=\frac{40\,000}{10^{6B}}=164\,025\ \text{psi}$$

負載	$\sigma_R=\dfrac{K_f\sigma_rS_{ut}}{S_{ut}-\sigma_{av}}$	$N=(\sigma_R/A)^{1/B}$	$n$	$n/N$
1	40 923 psi	799 800	320 000	0.400
2	51 023 psi	92 290	18 600	0.202
3	48 214 psi	160 640	?	1 − 0.400 − 0.202 = 0.398

$$n_3=0.398\times160\,640\approx64\,000\ \text{次}$$

補充：Miner 法則假設損傷線性累積、與負載順序無關；實際上先高後低的負載順序通常較不利，所以設計時常把右邊的 1 改成較小的值。

原圖對照（Miner 法則）

資料來源：原課程網頁 myCourse/courses/MachineDesign/FailureTheory/Fatigue.htm（Microsoft FrontPage）；2026-10-31 重建為獨立網站，原圖中的數學式改以 LaTeX 重寫、示意圖以 SVG 重繪，原圖收在各節「原圖對照」；標示「補充」者為新增內容。Miner 例題解答為補充；Excel 為教科書附檔。