最大剪應力理論Maximum Shear Stress Criterion (Tresca)
假設：複雜受力的機件中，任一主剪應力超過「單軸拉伸試驗破壞時的主剪應力」就會破壞。
The hypothesis for the maximum shear stress theory of failure is that failure will occur in a complex part if any of the principal shear stress exceeds the principal shear stress that gave rise to failure in the simple, uniaxial test.
The hypothesis for the maximum shear stress theory of failure is that failure will occur in a complex part if any of the principal shear stress exceeds the principal shear stress that gave rise to failure in the simple, uniaxial test.
臨界剪應力 Critical Shear Stress
單軸拉伸到降伏時 \(\sigma_1=S_{yt}\)、\(\sigma_2=\sigma_3=0\)，最大的莫爾圓半徑就是臨界剪應力：
$$\tau_{crit}=\frac{S_{yt}}{2}$$ $$\tau_{max}\ge\tau_{crit}=\frac{S_{yt}}{2}\ \Rightarrow\ \text{破壞}$$加上安全係數 \(n\) 的設計式：
$$\boxed{\tau_{max}=\frac{S_{yt}}{2n}}$$注意 \(\tau_{max}\) 是三個主應力（含 \(\sigma_3\)）中最大差值的一半，也就是三維莫爾圓最大圓的半徑（見應力張量）；平面應力時 \(\sigma_3=0\) 也要算進去。
原圖對照（臨界剪應力）
平面應力的包絡線 Failure Envelope
令 \(\sigma_3=0\)，在 σ₁–σ₂ 平面上逐一看各象限的莫爾圓，就能找出破壞的邊界：
- 第一象限（\(\sigma_1\ge\sigma_2\ge0\)）：三個圓中最大的是 \(\sigma_1\) 與 \(\sigma_3=0\) 之間的圓，\(\tau_{max}=\sigma_1/2\)。所以不論 \(\sigma_2\) 多大，只要 \(\sigma_1=S_{yt}\) 就破壞：邊界是垂直線 \(\sigma_1=S_{yt}\)（同理，對角線另一側是水平線 \(\sigma_2=S_{yt}\)）。
- 第三象限（兩者皆壓）：同理，邊界為 \(\sigma_2=-S_{yt}\)（或 \(\sigma_1=-S_{yt}\)）。
- 第二、四象限（一拉一壓）：最大的圓是 \(\sigma_1\) 與 \(\sigma_2\) 之間的圓，\(\tau_{max}=(\sigma_1-\sigma_2)/2\)，邊界是斜線 $$\sigma_1-\sigma_2=S_{yt}\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{\sigma_1}{S_{yt}}+\frac{\sigma_2}{-S_{yt}}=1$$
四個象限合起來是一個六角形：(σ₁, σ₂) 落在六角形內就安全。
原圖對照（各象限與包絡線）
安全係數 Safety Factor
比例負載時，應力點 \((\sigma_1,\sigma_2)\) 沿著過原點的射線移動；放大 \(n\) 倍剛好碰到包絡線，\(n\) 就是安全係數：
$$\text{第四象限：}\ \frac{n\sigma_1}{S_{yt}}+\frac{n\sigma_2}{-S_{yt}}=1\ \Longleftrightarrow\ \frac{\sigma_1}{S_{yt}}+\frac{\sigma_2}{-S_{yt}}=\frac1n\qquad\qquad \text{第一象限：}\ n\sigma_1=S_{yt}\ \Longleftrightarrow\ n=\frac{S_{yt}}{\sigma_1}$$
補充：各象限可統一寫成
$$n=\frac{S_{yt}}{\max\left(|\sigma_1-\sigma_2|,\ |\sigma_1|,\ |\sigma_2|\right)}=\frac{S_{yt}}{2\,\tau_{max}}$$補充例題 延性鋼 \(S_{yt}=250\) MPa，某點 \(\sigma_x=80\)、\(\sigma_y=-40\)、\(\tau_{xy}=30\) MPa：
$$\sigma_{1,2}=20\pm\sqrt{60^2+30^2}=87.1,\ -47.1\ \text{MPa}\quad(\text{第四象限})$$
$$n=\frac{250}{87.1-(-47.1)}=\frac{250}{134.2}=1.86$$
若只看最大主應力 \(250/87.1=2.87\)，會高估安全性約 54%。可到破壞理論比較器載入「例：拉＋壓＋剪」對照。
原圖對照（安全係數）
