最大畸變能理論Maximum Distortion Energy Criterion (von Mises)
This criterion is based on the determination of the distortion energy in a given material, i.e., of the energy associated with changes in the shape in that material (as opposed to the energy associated with the changes in volume in the same material). According to this criterion, a given structural material is safe as long as the maximum value of the distortion energy per unit volume in that material remains smaller than the distortion energy per unit volume required to cause yield in a tensile-test specimen of the same material.
本頁沿用原講義的符號：蒲松比寫成 \(\mu\)（許多教科書寫成 \(\nu\)）。
體積變化 Volume Change
邊長 \(dx\)、\(dy\)、\(dz\) 的微小立方體，受主應力 \(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\) 後各邊伸長 \((1+\varepsilon_i)\) 倍：
$$V_0=dx\,dy\,dz$$ $$\begin{aligned}V&=(1+\varepsilon_1)dx\cdot(1+\varepsilon_2)dy\cdot(1+\varepsilon_3)dz\\&\approx(1+\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3)\,V_0\end{aligned}$$ $$\frac{\Delta V}{V_0}=\frac{V-V_0}{V_0}=\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3$$「≈」是略去 \(\varepsilon_1\varepsilon_2\) 這類高階小量；金屬彈性應變約 0.001，乘積約 \(10^{-6}\)。
代入下一節的廣義虎克定律，三式相加：
$$\frac{\Delta V}{V_0}=\frac{1-2\mu}{E}\left(\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3\right)=\frac{3(1-2\mu)}{E}\,\sigma_{av},\qquad \sigma_{av}=\frac{\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3}{3}$$體積變化只取決於平均應力 \(\sigma_{av}\)。下面兩個應力狀態的平均應力都是 100，所以體積變化相同；但右邊的三個應力不相等，還多了形狀改變：
補充：均勻受拉（\(\sigma_1=\sigma_2=\sigma_3>0\)）時體積不可能變小，所以 \(1-2\mu\ge0\)，也就是 \(\mu\le0.5\)；\(\mu=0.5\) 為不可壓縮材料（如橡膠近似）。鋼約 0.3。
原圖對照（體積變化）
蒲松比與廣義虎克定律 Poisson's Ratio
- 細長桿受軸向拉力：\(\varepsilon_x=\sigma_x/E\)，\(\sigma_y=\sigma_z=0\)。
- 桿在 \(x\) 方向伸長的同時，其他方向會收縮。若材料為等向性（各方向性質相同），則 \(\varepsilon_y=\varepsilon_z\ne0\)。
- 蒲松比定義為側向應變與軸向應變比值的絕對值：
三個主應力同時作用時，把各自造成的應變疊加（每個應力在自己方向伸長 \(\sigma/E\)，在另外兩個方向收縮 \(\mu\sigma/E\)），得到廣義虎克定律：
$$\begin{cases}\varepsilon_1=\dfrac{\sigma_1}{E}-\mu\dfrac{\sigma_2}{E}-\mu\dfrac{\sigma_3}{E}=\dfrac1E\left(\sigma_1-\mu\sigma_2-\mu\sigma_3\right)\\[2mm]\varepsilon_2=\dfrac{\sigma_2}{E}-\mu\dfrac{\sigma_3}{E}-\mu\dfrac{\sigma_1}{E}=\dfrac1E\left(\sigma_2-\mu\sigma_3-\mu\sigma_1\right)\\[2mm]\varepsilon_3=\dfrac{\sigma_3}{E}-\mu\dfrac{\sigma_1}{E}-\mu\dfrac{\sigma_2}{E}=\dfrac1E\left(\sigma_3-\mu\sigma_1-\mu\sigma_2\right)\end{cases}$$原圖對照（蒲松比）
應變能 Strain Energy
力與伸長成正比，拉力做的功是 F–δ 圖下的三角形面積，以應變能的形式儲存在桿內：
$$U=\frac12F\delta=\frac12\sigma A\cdot\varepsilon L=\frac12\sigma\varepsilon\cdot AL=\frac12\sigma\varepsilon\cdot V$$ $$\boxed{u=\frac UV=\frac12\sigma\varepsilon}\qquad(\text{單位體積的應變能})$$三個主應力同時作用時，各方向的功相加，再代入廣義虎克定律：
$$\begin{aligned}u&=\frac{\sigma_1\varepsilon_1}{2}+\frac{\sigma_2\varepsilon_2}{2}+\frac{\sigma_3\varepsilon_3}{2}\\&=\frac1{2E}\left[\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2-2\mu\left(\sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1\right)\right]\end{aligned}$$原圖對照（應變能）
體積能與畸變能 Volumetric and Distortion Energy
把每個主應力拆成「平均應力」加上「偏差」：平均應力部分三向相等，只改變體積；偏差部分三者總和為 0，只改變形狀。
$$\sigma_{av}=\frac{\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3}{3},\qquad u=u_v+u_d$$體積能：把 \(\sigma_1=\sigma_2=\sigma_3=\sigma_{av}\) 代入 \(u\) 的公式
$$\begin{aligned}u_v&=\frac1{2E}\left[3\sigma_{av}^2-2\mu\left(3\sigma_{av}^2\right)\right]=\frac1{2E}\left(3\sigma_{av}^2-6\mu\sigma_{av}^2\right)=\frac{3\sigma_{av}^2}{2E}\left(1-2\mu\right)\\&=\frac{1-2\mu}{6E}\left(\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2+2\sigma_1\sigma_2+2\sigma_2\sigma_3+2\sigma_3\sigma_1\right)\end{aligned}$$畸變能：總應變能減去體積能
$$u_d=u-u_v=\frac{1+\mu}{3E}\cdot\frac{\left(\sigma_1-\sigma_2\right)^2+\left(\sigma_2-\sigma_3\right)^2+\left(\sigma_3-\sigma_1\right)^2}{2}$$ $$u_d\ge u_{crit}\ \Rightarrow\ \text{破壞}$$補充：\(u_d\) 只含主應力的差，所以三向等值的靜水壓（\(\sigma_1=\sigma_2=\sigma_3\)）不論多大，畸變能都是 0——這也是深海高壓下金屬不會降伏的原因。另外，把偏差應力 \(\sigma_i-\sigma_{av}\) 代入 \(u\) 的公式，會得到同一個 \(u_d\)；兩部分的交叉項因為偏差應力總和為 0 而互相抵消，所以 \(u=u_v+u_d\) 可以直接相加。
原圖對照（能量分解）
臨界畸變能與 von Mises 等效應力 Critical Value
\(u_{crit}\) 是多少？用單軸拉伸試驗決定：降伏時 \(\sigma_1=S_{yt}\)、\(\sigma_2=\sigma_3=0\)。
兩邊消去 \((1+\mu)/3E\) 後開根號，定義 von Mises 等效應力 \(\sigma'\)：
$$\boxed{\sigma'\equiv\sqrt{\frac{\left(\sigma_1-\sigma_2\right)^2+\left(\sigma_2-\sigma_3\right)^2+\left(\sigma_3-\sigma_1\right)^2}{2}}}$$ $$\sigma'\ge S_{yt}\ \Rightarrow\ \text{破壞},\qquad \text{設計式：}\ \sigma'=\frac{S_{yt}}{n}$$\(\sigma'\) 把任意三維應力狀態換算成「畸變能相同的單軸拉應力」，所以能直接拿來和拉伸試驗的 \(S_{yt}\) 比較；材料常數 \(E\)、\(\mu\) 在比較時消掉了。
原圖對照（拉伸試驗）
扭轉試驗：剪降伏強度 Torsion Test
純剪（扭轉試驗）時 \(\sigma_1=\tau_{max}\)、\(\sigma_2=-\tau_{max}\)、\(\sigma_3=0\)；降伏時 \(\tau_{max}=S_{ys}\)（剪降伏強度），見上圖右：
扭轉試驗與拉伸試驗得到的 \(u_{crit}\) 必須相等：
$$\frac{1+\mu}{3E}\cdot3S_{ys}^2=\frac{1+\mu}{3E}\cdot S_{yt}^2\ \Rightarrow\ \boxed{S_{ys}=\frac1{\sqrt3}S_{yt}=0.577\,S_{yt}}$$補充：最大剪應力理論預測 \(S_{ys}=0.5\,S_{yt}\)（純剪時 \(\tau_{max}=\tau_{crit}=S_{yt}/2\)）。延性金屬的實驗值大多落在 0.55–0.6 之間，比較接近 von Mises 的 0.577。
原圖對照（扭轉試驗）
平面應力的包絡線 Plane Stress
令 \(\sigma_3=0\)：
$$\sigma'=\sqrt{\frac{\left(\sigma_1-\sigma_2\right)^2+\left(\sigma_2-0\right)^2+\left(0-\sigma_1\right)^2}{2}}=\sqrt{\sigma_1^2-\sigma_1\sigma_2+\sigma_2^2}$$破壞邊界 \(\sigma'=S_{yt}\)：
$$\sigma_1^2-\sigma_1\sigma_2+\sigma_2^2=S_{yt}^2$$- 邊界是一個橢圓，長軸沿 45° 線。它通過 Tresca 六角形的全部六個頂點，所以六角形完全在橢圓內：最大剪應力理論比較保守。
- 補充：長半軸 \(\sqrt2\,S_{yt}\)（沿 \(\sigma_1=\sigma_2\)），短半軸 \(\sqrt{2/3}\,S_{yt}\)（沿 \(\sigma_1=-\sigma_2\)）。
- 補充：兩者差最多的地方在純剪（第二、四象限的對角線），von Mises 允許的剪應力是 Tresca 的 \(2/\sqrt3=1.155\) 倍，也就是差 15.5%。
原圖對照（包絡線）
以 σx、σy、τxy 表示 In Terms of Stress Components
實際計算時常直接用 \(\sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy}\)，不必先求主應力。平面主應力為
$$\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}$$利用 \(\sigma_1+\sigma_2=\sigma_x+\sigma_y\)、\(\sigma_1\sigma_2=\left(\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\right)^2-\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2-\tau_{xy}^2\)：
$$\begin{aligned}\sigma_1^2-\sigma_1\sigma_2+\sigma_2^2&=\left(\sigma_1+\sigma_2\right)^2-3\sigma_1\sigma_2\\&=\left(\sigma_x+\sigma_y\right)^2-3\left[\left(\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\right)^2-\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2-\tau_{xy}^2\right]\\&=\left(\sigma_x^2+2\sigma_x\sigma_y+\sigma_y^2\right)-3\left(\sigma_x\sigma_y-\tau_{xy}^2\right)\\&=\sigma_x^2-\sigma_x\sigma_y+\sigma_y^2+3\tau_{xy}^2\end{aligned}$$ $$\boxed{\sigma'=\sqrt{\sigma_x^2-\sigma_x\sigma_y+\sigma_y^2+3\tau_{xy}^2}=\frac{S_{yt}}{n}}$$用主應力 87.1、−47.1 MPa 代入 \(\sqrt{\sigma_1^2-\sigma_1\sigma_2+\sigma_2^2}\) 也得到 117.9 MPa。Tresca 算出 \(n=1.86\)，較保守。可到破壞理論比較器看兩條包絡線與負載射線的交點。
第 7 章設計軸徑時會用到這兩個式子。
原圖對照（σx、σy、τxy 形式）
