莫爾理論Mohr's Theory (Coulomb–Mohr)
補充：此理論也可用於拉、壓降伏強度不相等的延性材料（以 \(S_{yt}\)、\(S_{yc}\) 取代 \(S_{ut}\)、\(S_{uc}\)）。
破壞包絡線 Failure Envelope
- 左圓為單軸壓縮試驗破壞時的莫爾圓（通過 \(-S_c\) 與原點），右圓為單軸拉伸試驗（通過原點與 \(S_t\)），中間為扭轉試驗（圓心在原點）。
- 與這些圓都相切的曲線 ABCDE 就是破壞包絡線。應力狀態的主莫爾圓（以最大主應力 \(\sigma_1\) 和最小主應力 \(\sigma_3\) 為直徑）在包絡線內為安全，碰到包絡線即破壞。
- 原始莫爾理論需要多種試驗才能畫出曲線；工程上通常只用拉伸和壓縮兩個試驗，以兩圓的公切線（直線）近似包絡線，稱為 Coulomb–Mohr 理論（也稱內摩擦理論）。
補充：圖中包絡線是讓圓族的半徑 \(r(c)\) 為通過三個試驗圓的二次式，再求圓族的包絡線 \(\sigma=c-r\,r'\)、\(\tau=r\sqrt{1-r'^2}\) 畫出，所以和三個圓都精確相切；扭轉試驗圓略大於直線包絡線允許的大小，曲線因此向外凸。拉伸圓切點 D 之後沒有試驗資料，沿切線延伸到 E。
原圖對照（包絡線）
一拉一壓時的破壞條件 Derivation
平面應力 \(\sigma_1>0>\sigma_2\)（\(\sigma_3=0\) 落在兩者之間，所以主莫爾圓的直徑是 \(\sigma_1-\sigma_2\)）。原講義把 \(S_{uc}\) 當成負值（\(|S_{uc}|=-S_{uc}\)）。設主莫爾圓圓心 \(C\)、半徑 \(r\)，剛好與公切線相切：
過 \(S_{ut}/2\) 畫一條平行於公切線的虛線，它把三個圓心到切點的半徑都切出 \(S_{ut}/2\) 的一段；剩下的紅色線段（\(x\) 與 \((|S_{uc}|-S_{ut})/2\)）和圓心到 \(S_{ut}/2\) 的距離成比例（相似三角形）：
$$\frac{x}{\dfrac{|S_{uc}|-S_{ut}}{2}}=\frac{\dfrac{S_{ut}}{2}-C}{\dfrac{S_{ut}}{2}-\dfrac{S_{uc}}{2}}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{S_{uc}+S_{ut}}{S_{ut}-S_{uc}}\left(C-\frac{S_{ut}}{2}\right)$$ $$\begin{aligned}\sigma_1-\sigma_2&=2r=S_{ut}+2x\\&=S_{ut}+\frac{S_{uc}+S_{ut}}{S_{ut}-S_{uc}}\left(\sigma_1+\sigma_2-S_{ut}\right)\end{aligned}$$補充（整理步驟）：兩邊乘以 \(S_{ut}-S_{uc}\)
$$\left(\sigma_1-\sigma_2\right)\left(S_{ut}-S_{uc}\right)=S_{ut}\left(S_{ut}-S_{uc}\right)+\left(S_{uc}+S_{ut}\right)\left(\sigma_1+\sigma_2-S_{ut}\right)$$展開後 \(\sigma_1S_{ut}\)、\(\sigma_2S_{uc}\)、\(S_{ut}^2\) 兩邊消去，剩下 \(-2S_{uc}\sigma_1-2S_{ut}\sigma_2+2S_{ut}S_{uc}=0\)，同除以 \(2S_{ut}S_{uc}\)：
$$\boxed{\frac{\sigma_1}{S_{ut}}+\frac{\sigma_2}{S_{uc}}=1}\qquad(S_{uc}<0)$$若 \(S_{uc}\) 改用正值（強度的大小，本站比較器與多數教科書的寫法），同一條線寫成
$$\frac{\sigma_1}{S_{ut}}-\frac{\sigma_2}{S_{uc}}=1\qquad(S_{uc}>0)$$原圖對照（推導）
σ₁–σ₂ 平面的包絡線 Biaxial Stress
- 第一象限（兩者皆拉）：主莫爾圓是 \(\sigma_3=0\) 到較大拉應力的圓，只要不超過拉伸試驗圓即可：邊界 \(\sigma_1=S_{ut}\)、\(\sigma_2=S_{ut}\)。
- 第三象限（兩者皆壓）：同理，邊界為 \(-S_{uc}\)。
- 第二、四象限（一拉一壓）：上一節推出的斜線，連接 \((S_{ut},0)\) 與 \((0,-S_{uc})\)（第二象限對稱）。
- 與最大正向應力理論的方形比較：第一、三象限相同，第二、四象限的角落被斜線切掉——一拉一壓時，最大正向應力理論會高估安全性。
原圖對照（σ₁–σ₂ 平面）
安全係數 Safety Factor（補充）
比例負載時把應力放大 \(n\) 倍剛好碰到包絡線（\(S_{uc}\) 取正值，\(\sigma_A\ge\sigma_B\) 為平面主應力）：
$$n=\begin{cases}\dfrac{S_{ut}}{\sigma_A} & \sigma_A\ge\sigma_B\ge0\\[3mm]\left(\dfrac{\sigma_A}{S_{ut}}-\dfrac{\sigma_B}{S_{uc}}\right)^{-1} & \sigma_A\ge0\ge\sigma_B\\[3mm]\dfrac{S_{uc}}{|\sigma_B|} & 0\ge\sigma_A\ge\sigma_B\end{cases}$$三維應力時用最大主應力 \(\sigma_1\) 與最小主應力 \(\sigma_3\) 代替 \(\sigma_A\)、\(\sigma_B\)（主莫爾圓由它們決定），中間主應力不影響結果。
最大正向應力理論得 \(n=300/87.1=3.45\)，高估約 18%。純剪（扭轉）時差更多：Coulomb–Mohr 允許 \(\tau=\left(\frac1{300}+\frac1{900}\right)^{-1}=225\) MPa，最大正向應力理論允許 300 MPa。可到破壞理論比較器勾選 Coulomb–Mohr 對照。
補充：若 \(S_{ut}=S_{uc}=S_y\)（拉壓強度相同），第四象限斜線變成 \(\sigma_A-\sigma_B=S_y\)，Coulomb–Mohr 就退化成最大剪應力理論（Tresca 六角形）。