疲勞（一）：S-N 曲線與應力集中Fatigue I — S-N Curve and Stress Concentration
應力型態 Types of Stress
| 型態 | 特徵 | 補充：應力比 \(R=\sigma_{min}/\sigma_{max}\) |
|---|---|---|
| Ⅰ 靜態應力 Static | 負載加上後不再改變 | — |
| Ⅱ 反覆應力 Repeated | 在 0 與 \(\sigma_{max}\) 之間變化：\(\sigma_m=\sigma_A\) | \(R=0\) |
| Ⅲ 交變應力 Reversed | 正負對稱（完全反覆）：\(\sigma_m=0\) | \(R=-1\) |
| Ⅳ 變動應力 Fluctuating | 一般情形：平均應力加上振幅 | 其他 |
原圖對照（應力型態）
旋轉樑疲勞試驗 Rotating-Beam Test
標準的疲勞強度用 R. R. Moore 旋轉樑試驗量測：拋光的沙漏形試片裝在兩組軸承之間，砝碼透過吊架加在內側兩個軸承上，形成四點彎曲，試片所在的中段剪力為零、只受固定彎矩（純彎曲）：
試片旋轉時負載方向不變，所以表面任一點每轉一圈就從最大拉應力轉到最大壓應力再回來，正好是完全反覆（交變）應力，振幅 \(\sigma_A=Mc/I=32M/(\pi d^3)\)。記錄斷裂時的轉數，就得到該應力下的疲勞壽命。
原圖對照（試驗機）
S-N 曲線與耐久限度 S-N Curve and Endurance Limit
- 以不同的應力振幅重複試驗，把應力 \(\sigma_R\)（等效完全反覆應力）對壽命 \(N\) 作圖，即為 S-N 曲線（疲勞曲線）。應力越低，壽命越長。
- 鋼在大約 \(10^6\) 次之後曲線趨於水平（圖中 S 點）：應力低於這個值時，理論上可以承受無限次循環，這個應力稱為耐久限度 \(\sigma_e\)（endurance limit，也寫作 \(S_e\) 或 \(S_n\)）。
- 補充：鋁、銅等非鐵金屬沒有明顯的水平段，通常改用某個循環次數（例如 \(5\times10^8\) 次）下的疲勞強度。
耐久限度和材料的抗拉強度、試片表面狀況有關。研磨的表面最好，切削、熱軋、鍛造（表面有脫碳層與氧化皮）依序變差，而且抗拉強度越高、受表面影響越大：
上圖為原講義所附教科書資料圖（未開槽試片、反覆彎曲），保留原圖。由圖讀出 \(S_{ut}=90\) ksi 時，研磨、切削、熱軋、鍛造的耐久限度約為 40、33、24、18 ksi，畫成 S-N 線如下：
- 在對數座標上，\(10^3\) 次到 \(10^6\) 次之間可近似為直線：起點約為 \(0.9\,S_{ut}\)（本例 81 ksi），終點為耐久限度；\(10^6\) 次以後為水平線。
- 補充：這條直線就是 Basquin 式 \(\sigma=a\,N^{b}\)，係數 \(b=-\tfrac13\log_{10}\!\left(0.9S_{ut}/S_e\right)\)、\(a=(0.9S_{ut})^2/S_e\)；有限壽命的計算在疲勞（二）。上一張線性座標圖的曲線也是用同一條式子（研磨）畫出的。
- 補充：沒有試驗資料時，鋼的拋光試片常用 \(S_e'\approx0.5\,S_{ut}\)（\(S_{ut}\le200\) ksi）估計，再依表面、尺寸、可靠度等因素修正。
原圖對照（S-N 曲線）
應力集中 Stress Concentration
截面突然改變的地方（孔、圓角、鍵槽、螺紋、缺口），局部應力會遠高於用 \(P/A\)、\(Mc/I\) 算出的名目應力。兩者的比值稱為（理論）應力集中因數：
$$K_t=\frac{\sigma_{max}}{\sigma_{avg}}$$\(K_t\) 只與幾何形狀和負載方式有關，與材料無關，由彈性理論、光彈實驗或有限元素分析求得，查圖表使用。
補充：上圖曲線用 Roark 的近似式 \(K_t=3.00-3.13(d/b)+3.66(d/b)^2-1.53(d/b)^3\) 繪出（名目應力取淨斷面），與原講義圖相差 2% 以內。\(d/b\to0\) 時 \(K_t\to3\)，就是左上圖無限寬板的 Kirsch 解。
階梯圓軸受拉時，\(K_t\) 隨圓角半徑比 \(r/d\) 變小而急遽增大；兩段直徑差越大（\(D/d\) 越大）越嚴重。下圖為原講義所附教科書資料圖：
教科書附的 Excel 計算表：Module 2-5、Module 2-6 （Spotts／Shoup 教科書附檔，含巨集，需在 Excel 啟用巨集後使用）
原圖對照（應力集中）
疲勞應力集中因數與缺口敏感度 Fatigue Stress Concentration Factor
疲勞試驗中，開槽試片的耐久限度比未開槽試片低。兩者之比稱為疲勞應力集中因數：
$$K_f=\frac{S_n(u)}{S_n(n)}$$實際的 \(K_f\) 通常比理論的 \(K_t\) 小——材料對缺口不是百分之百敏感。用缺口敏感度 \(q\) 描述：
$$q=\frac{K_f-1}{K_t-1}\quad\Rightarrow\quad K_f=1+q\left(K_t-1\right)$$- \(q=0\)：對缺口完全不敏感，\(K_f=1\)；\(q=1\)：完全敏感，\(K_f=K_t\)。
- 缺口半徑越大、材料強度越高，\(q\) 越接近 1。不確定時取 \(q=1\)（\(K_f=K_t\)）最保守。
補充：上圖用 Neuber 式 \(q=1/\left(1+\sqrt a/\sqrt r\right)\) 繪出，鋼的 Neuber 常數 \(\sqrt a=0.246-3.08\times10^{-3}S_{ut}+1.51\times10^{-5}S_{ut}^2-2.67\times10^{-8}S_{ut}^3\)（\(\sqrt{\text{in}}\)，\(S_{ut}\) 以 kpsi 計，Shigley 擬合式），與原講義圖的鋼材曲線相近；原圖另有鋁合金曲線。
疲勞設計時以 \(K_f\) 放大交變應力（或把耐久限度除以 \(K_f\)）。
原圖對照（Kf 與缺口敏感度）
延性材料在靜負載下的應力集中 Static Loading of Ductile Materials
理想彈塑性材料降伏後應力停在 \(\sigma_Y\)。所以延性材料受靜負載時，孔邊先降伏，多出的負載由旁邊還沒降伏的材料分擔，應力分佈逐漸變平，直到整個斷面都達到 \(\sigma_Y\) 才失去承載能力：
因此延性材料在靜負載下通常可以不計應力集中（極限負載約為 \(\sigma_Y\) 乘淨斷面積）；但脆性材料和疲勞負載就必須考慮，因為局部的高應力正是裂紋的起點。
原圖對照（彈塑性）
例 2：殘留應力 Residual Stress
矩形斷面梁高 120 mm（\(c=60\) mm；下圖 \(y\) 以 mm、\(\sigma_x\) 以 MPa 計），材料 \(\sigma_Y=240\) MPa（理想彈塑性）。彎矩加到彈性核只剩 \(|y|\le40\) mm（外側都已降伏）後完全卸載，求殘留應力。
補充（原講義只有圖）：彈塑性彎矩（\(y_Y\) 為彈性核半高、\(M_Y=\sigma_Y I/c\) 為剛開始降伏的彎矩）
$$M=\frac32M_Y\left[1-\frac13\left(\frac{y_Y}{c}\right)^2\right]$$卸載是彈性的，相當於反向加上同一個彎矩、應力線性分佈，表面值為
$$\sigma'_m=\frac{Mc}{I}=\frac32\sigma_Y\left[1-\frac13\left(\frac{40}{60}\right)^2\right]=\frac32(240)(0.852)=306.7\ \text{MPa},\qquad y=40:\ 306.7\times\frac{40}{60}=204.4\ \text{MPa}$$兩者疊加得殘留應力：
$$y=60:\ -240+306.7=66.7\ \text{MPa},\qquad y=40:\ -240+204.4=-35.6\ \text{MPa}$$編註：原圖標示 204.5 與 −35.5，是先把 306.7 進位後再乘 40/60 的結果；精確值為 204.4 與 −35.6。殘留應力分佈本身自成平衡：合力與合力矩都是 0。
同一個彎矩下，降伏後的實際最大應力（\(\sigma_Y\)）小於彈性公式 \(Mc/I\) 算出的值，卸載後就留下殘留應力。表面若留下壓的殘留應力（例如珠擊 shot peening、表面滾壓），能抵消一部分工作拉應力，延長疲勞壽命（補充）。
原圖對照（殘留應力）
