皮帶的力分析與設計Belt Forces & Design
皮帶的種類、幾何與長度見上一頁皮帶傳動。說明文字為補充，公式與推導照原講義。
緊邊與鬆邊 Tight and Slack Sides
主動輪帶動皮帶時，進入主動輪的一邊被拉緊（緊邊張力 \(F_1\)），離開的一邊較鬆（鬆邊張力 \(F_2\)）。兩者之差就是傳遞扭矩的有效拉力，靠皮帶與輪之間的摩擦維持。
原圖對照（主動輪上的張力）
張力比的推導 Belt Friction Equation
取一段對應角度 \(d\theta\) 的皮帶元素（單位長度質量 \(m\)，速度 \(v\)），受兩端張力 \(F\)、\(F+dF\)，輪面的正向力 \(dN\) 與摩擦力 \(f\,dN\)。皮帶繞輪做圓周運動，需要的向心力為 \(m\,r\,d\theta\cdot\dfrac{v^2}{r}=mv^2d\theta\)。徑向平衡（\(\sin\frac{d\theta}2\approx\frac{d\theta}2\)，略去高階項）：
$$\left(F+dF\right)\sin\frac{d\theta}2+F\sin\frac{d\theta}2-mv^2d\theta-dN=0\ \Longrightarrow\ F\,d\theta-mv^2d\theta-dN=0$$切向平衡（\(\cos\frac{d\theta}2\approx1\)）：
$$\left(F+dF\right)\cos\frac{d\theta}2-f\,dN-F\cos\frac{d\theta}2=0\ \Longrightarrow\ dN=\frac{dF}f$$代入徑向式，分離變數後由鬆邊（\(\theta=0\)，\(F_2\)）積分到緊邊（\(\theta=\phi\)，\(F_1\)）：
$$\left(F-mv^2\right)d\theta=\frac{dF}f\ \Longrightarrow\ \int_{F_2}^{F_1}\frac{dF}{F-mv^2}=\int_0^\phi f\,d\theta\ \Longrightarrow\ \frac{F_1-mv^2}{F_2-mv^2}=e^{f\phi}$$\(\phi\) 取較小輪（小輪）的包角，打滑會先發生在那裡。\(mv^2\) 是離心力造成的張力，速度高時會明顯減少可傳遞的功率。
原圖對照（推導）
V 帶的張力比 V-Belt Tension Ratio
補充：V 帶在輪溝中楔緊，溝角 \(\beta\)（約 40°）時正向力放大 \(1/\sin(\beta/2)\) 倍，等效摩擦係數 \(f'=f/\sin(\beta/2)\)。設計上常取包角 180° 時 \(F_1/F_2=5\)（不計離心力），即 \(f'=\ln5/\pi=0.512\)。上圖橫軸 \(\cos\psi\)，\(\psi=\phi_1/2\)；開口皮帶 \(\cos\psi=\sin\alpha=(D-d)/2c\)，兩輪大小相差越多，小輪包角越小，張力比越低。
原圖對照（張力比圖）
傳遞功率 Power
$$P\ (\text{hp})=\frac{\left(F_1-F_2\right)(\text{lb})\cdot V\ (\text{ft/min})}{33\,000},\qquad V=\frac{\pi d\ (\text{in})\ n\ (\text{rpm})}{12}$$原圖對照
皮帶的應力 Belt Stresses
皮帶繞過輪時被彎曲，曲率 \(\kappa=2/D\)，外緣（\(y=t/2\)）的彎曲應力為
$$\sigma_b=\kappa Ey=\frac2DE\,\frac t2=\frac{Et}D,\qquad \sigma=\frac{F_1}{bt}+\frac{Et}D$$\(b\)：皮帶寬度；\(t\)：皮帶厚度；\(E\)：皮帶的楊氏係數；\(D\)：皮帶輪直徑。最大應力發生在緊邊進入小輪的地方。下圖為皮帶一圈各處的力（以應力乘斷面積表示）：直線段只有張力，繞過輪時加上彎曲（\(T_b\)，輪越小越大）；離心張力 \(T_c\) 在整圈都存在，圖中省略。皮帶每轉一圈承受兩次彎曲，所以是疲勞問題；輪太小、皮帶太厚都會縮短壽命，因此各種皮帶都規定最小輪徑。
原圖對照（皮帶應力）
補充例題 Example
大輪轉速 \(1150\times12/16=862.5\) rpm。包角比 180° 少，張力比由 5 降到 4.55，同樣的功率需要較大的初張力。
教科書附的 Excel：Module 6-1（中心距與包角）。
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