螺栓的預壓Bolt Preload
彈簧常數 Spring Constant
長 \(L\)、截面積 \(A\)、彈性係數 \(E\) 的桿受拉力 \(P\)，伸長量與彈簧常數為
$$\delta=\frac{PL}{EA}\ \Longrightarrow\ k=\frac P\delta=\frac{EA}L,\qquad \delta=\frac Pk$$原圖對照（彈簧常數）
沒有初始力 No Initial Force
上圖的螺栓穿過被夾件，兩者在外力 \(P\) 作用下伸長量相同（並聯）：
$$k_b=\frac{E_bA_b}{L_b},\quad k_p=\frac{E_pA_p}{L_p},\qquad \delta=\frac{P_b}{k_b}=\frac{P_p}{k_p}\ \Longrightarrow\ P_p=\frac{k_p}{k_b}P_b$$ $$P=P_b+P_p=\frac{k_b+k_p}{k_b}P_b\ \Longrightarrow\ P_b=\frac{k_b}{k_b+k_p}P,\qquad P_p=\frac{k_p}{k_b+k_p}P$$若 \(E_b=E_p\)、\(L_b=L_p\)，彈簧常數與截面積成正比：
$$\frac{k_b}{k_b+k_p}=\frac{A_b}{A_b+A_p},\qquad \frac{k_p}{k_b+k_p}=\frac{A_p}{A_b+A_p}$$原圖對照（沒有初始力）
有初始力 With Initial Force Fo
先把螺帽鎖緊，螺栓受拉 \(F_o\)、被夾件受壓 \(F_o\)。外力 \(P\) 使兩者再一起伸長，所以螺栓增加 \(\dfrac{k_b}{k_b+k_p}P\)，被夾件的壓力減少 \(\dfrac{k_p}{k_b+k_p}P\)：
$$F_{b\,max}=\frac{k_b}{k_b+k_p}P_{max}+F_o,\qquad F_{b\,min}=\frac{k_b}{k_b+k_p}P_{min}+F_o$$螺栓力的平均值與變動幅度：
$$F_{b\,av}=\tfrac12\left(F_{b\,max}+F_{b\,min}\right)=\frac{k_b}{k_b+k_p}P_{av}+F_o,\qquad F_{b\,r}=\tfrac12\left(F_{b\,max}-F_{b\,min}\right)=\frac{k_b}{k_b+k_p}P_r$$被夾件的力（受壓為負）要一直小於零，接合面才不會分開：
$$F_{p\,max}=\frac{k_p}{k_b+k_p}P_{max}-F_o<0$$補充：上圖以例 5-2 的數值畫出。接合面分開以前，螺栓只分擔外力的 \(k_b/(k_b+k_p)=28\%\)，應力幅因此大幅降低；外力超過 \(F_o(k_b+k_p)/k_p=3482\) lb 後接合面分開，螺栓承受全部外力。被夾件越硬（\(k_p\) 越大），螺栓分擔越少。
原圖對照（有初始力）
例題 5-2 Example 5-2
上圖的螺栓為 1/2 in-13UNC，螺栓與被夾件同長，螺紋恰好止於螺帽上方。螺栓螺紋為研磨，降伏強度 69 000 psi、極限強度 101 000 psi，螺紋的應力集中係數取 3.85，疲勞強度 \(\sigma_e=30\,000\) psi。鋼質被夾件淨面積 0.5 in²。外力在 0 與 2400 lb 之間連續變動。(a) 沒有初始力時，求螺栓的安全係數；(b) 求使被夾件不失去壓縮的最小 \(F_o\)；(c) \(F_o=2500\) lb 時，求螺栓的安全係數；(d) \(F_o=2500\) lb 時，求被夾件的最小壓力。
(a) 被夾件沒有鎖緊時，外力全部由螺栓承受：
$$\sigma_{av}=\frac{1200}{0.1419}=8460\ \text{psi},\qquad K\sigma_r=3.85\times\frac{1200}{0.1419}=32\,560\ \text{psi}$$畫在下面的疲勞設計圖上，這一點在破壞線外，不安全。
(b) 同長度、同彈性係數，彈簧常數與截面積成正比。螺栓的全截面積 \(\frac\pi4\left(\frac12\right)^2=0.1964\) in²。令 \(F_{p\,max}=0\)：
$$F_o=\frac{k_p}{k_b+k_p}P_{max}=\frac{0.5}{0.6964}\times2400=1720\ \text{lb}$$這是 \(F_o\) 理論上的最小值。
(c)
$$F_{b\,av}=\frac{0.1964}{0.6964}(1200)+2500=2840\ \text{lb},\qquad \sigma_{av}=\frac{2840}{0.1419}=20\,010\ \text{psi}$$ $$F_{b\,r}=\frac{0.1964}{0.6964}(1200)=338\ \text{lb},\qquad \sigma_r=\frac{338}{0.1419}=2380\ \text{psi},\qquad K\sigma_r=9160\ \text{psi}$$ $$\frac{\sigma_{av}}{\sigma_{ult}}+\frac{K\sigma_r}{\sigma_e}=\frac1{F_s}:\qquad \frac{20\,010}{101\,000}+\frac{9160}{30\,000}=0.1981+0.3053=\frac1{F_s},\qquad F_s=1.99$$(d)
$$F_{p\,max}=\frac{A_p}{A_b+A_p}P_{max}-F_o=\frac{0.5}{0.1964+0.5}(2400)-2500=-780\ \text{lb}$$外力最大時，被夾件仍受壓 780 lb。
上圖的疲勞破壞線取 A（\(\sigma_e\)）到 B（\(\sigma_{ult}\)）的直線，並以由 D（\(\sigma_{yp}\)）作 45° 的降伏線截去 CD 以右的部分。(a) 的點遠在線外；加了初始力後，(c) 的平均應力提高，但應力幅降到約 1/3.5，落在安全區內。
編註：原講義 (c) 先印 \(\sigma_{av}=20\,101\) psi，下一行又用 20 010；\(2840/0.1419=20\,014\)，20 101 是數字顛倒。(b) 文字寫「\(F_{p\,min}\) 為零」，對應的是上面的 \(F_{p\,max}\)（受壓為負，代數最大即壓力最小）。補充：不先捨入時 \(\sigma_{av}=20\,003\)、\(K\sigma_r=9180\) psi，\(F_s=1.98\)。
原圖對照（例題 5-2）
衝擊負載 Stress Due to Impact Load
螺栓有時承受突然施加的或衝擊性的負載，應力可由螺栓必須吸收的衝擊能量 \(U\) 求得。螺栓受拉的力–變形圖是三角形，面積就是螺栓儲存的應變能：
$$U=\tfrac12F\delta\tag{23}$$\(F\) 為衝擊造成的力，\(\delta=F/k\)，\(k=AE/l\) 為螺栓的彈簧常數。代入得
$$U=\frac{F^2}{2k}\tag{24}$$螺栓的應力等於 \(F\) 除以最小截面積；有螺紋的螺栓，就是螺紋部分的應力面積。
原圖對照（衝擊負載）
例題 5-7 Example 5-7
1/2 in-13UNC、長 12 in 的鋼螺栓（\(E=30\,000\,000\) psi）承受 40 in·lb 的衝擊能量。(a) 求標準螺栓應力面積處的應力；(b) 若螺栓頭與螺帽之間的整段桿身都車細到應力面積，求應力。
應力集中還可能使上面的應力大幅增加。
(b) \(k\) 改由應力面積決定：
$$k=\frac{0.1419E}{12}=0.01182E,\qquad F=\sqrt{2(0.01182)(30\,000\,000)(40)}=5320\ \text{lb},\qquad \sigma=\frac{5320}{0.1419}=37\,530\ \text{psi}$$補充：車細桿身看似削弱了螺栓，但它變得比較柔（\(k\) 小），吸收同樣的能量時伸長較多、力較小，最小截面的應力反而下降 15%。這是承受衝擊的螺栓常把桿身車細到螺紋小徑附近的原因。
原圖對照（例題 5-7）
