動力螺旋Power Screws
幾何 Geometry
負載 \(W\) 由螺桿頂起（螺桿旋入負載），螺桿下端以軸環（thrust collar）壓在底座上。\(r_t\) 為螺紋的節圓半徑，\(r_c\) 為軸環的平均半徑，\(\theta\) 為牙側半角（Acme 螺紋 \(\theta=14\tfrac12^\circ\)），\(L\) 為導程。螺旋線展開後是一個斜面，螺旋角
$$\tan\alpha=\frac L{2\pi r_t}$$原圖對照（螺旋千斤頂）
力的分析 Force Analysis
螺紋面上的法向力 \(F_n\) 與軸線的夾角 \(\theta_n\) 是在法向截面量的牙側角。由原講義的立體分解圖（OABC 等矩形）：
$$\tan\theta_n=\frac{CD}{OC},\qquad \tan\theta=\frac{AB}{AO}=\frac{CD}{AO},\qquad \cos\alpha=\frac{AO}{OC}\ \Longrightarrow\ \tan\theta_n=\tan\theta\cos\alpha$$\(F_n\) 分解成沿牙側的 \(F_n\sin\theta_n\)（徑向，互相抵消）與 \(F_n\cos\theta_n\)（落在斜面的法向）；後者再分成軸向 \(F_n\cos\theta_n\cos\alpha\) 與切向 \(F_n\cos\theta_n\sin\alpha\)。上升時螺紋摩擦力 \(\mu_1F_n\) 沿斜面向下，軸環摩擦力為 \(\mu_2W\)。軸向力平衡與扭矩：
$$F_n\cos\theta_n\cos\alpha=\mu_1F_n\sin\alpha+W\ \Longrightarrow\ F_n=\frac W{\cos\theta_n\cos\alpha-\mu_1\sin\alpha}$$ $$T=r_t\left(F_n\cos\theta_n\sin\alpha+\mu_1F_n\cos\alpha\right)+r_c\mu_2W$$代入 \(F_n\)，分子分母同除以 \(\cos\alpha\)：
$$T_{raise}=Wr_t\left(\frac{\cos\theta_n\tan\alpha+\mu_1}{\cos\theta_n-\mu_1\tan\alpha}+\frac{r_c}{r_t}\mu_2\right)$$原圖對照（力的分析）
例題 5-3 Example 5-3
四線 Acme 螺紋，外徑 1 in、螺距 0.200 in，軸環半徑 1.5 與 0.5 in。舉升 1000 lb 需要多少扭矩？\(\mu_1=\mu_2=0.12\)。
軸環平均半徑 \(r_c=(1.5+0.5)/2=1.00\) in：
$$T_{raise}=1000\times0.450\left(\frac{0.97040\times0.28294+0.12}{0.97040-0.12\times0.28294}+\frac{1.00}{0.45}\times0.12\right)=309.6\ \text{in·lb}$$教科書附的 Excel 計算表：Module 5-1（動力螺旋的舉升與下降扭矩，可切換英制／公制）。預設值就是本例，算得 \(T_{raise}=309.6\)、\(T_{lower}=50.7\) in·lb。
原圖對照（例題 5-3）
下降與自鎖 Lowering and Self-Locking
以向右的力 \(F\) 使負載下降時，\(F\) 與所有摩擦項的符號都相反：
$$T_{lower}=-Wr_t\left(\frac{\cos\theta_n\tan\alpha-\mu_1}{\cos\theta_n+\mu_1\tan\alpha}-\frac{r_c}{r_t}\mu_2\right)=Wr_t\left(\frac{\mu_1-\cos\theta_n\tan\alpha}{\cos\theta_n+\mu_1\tan\alpha}+\frac{r_c}{r_t}\mu_2\right)$$若 \(T_{lower}<0\)，負載會自行下降（overhauling），必須另設機構把系統鎖住。要避免自行下降，必須
$$\frac{\mu_1-\cos\theta_n\tan\alpha}{\cos\theta_n+\mu_1\tan\alpha}+\frac{r_c}{r_t}\mu_2\ge0\ \Longrightarrow\ \mu_1-\cos\theta_n\tan\alpha\ge-\frac{r_c}{r_t}\mu_2\left(\cos\theta_n+\mu_1\tan\alpha\right)$$ $$\mu_1+\frac{r_c}{r_t}\mu_2\cos\theta_n\ge\left(\cos\theta_n-\mu_2\mu_1\frac{r_c}{r_t}\right)\tan\alpha\ \Longrightarrow\ \tan\alpha\le\frac{\dfrac{r_c}{r_t}\mu_2\cos\theta_n+\mu_1}{\cos\theta_n-\mu_2\mu_1\dfrac{r_c}{r_t}}$$若 \(\mu_2=0\)（軸環用滾動軸承），條件簡化為
$$\tan\alpha\le\frac{\mu_1}{\cos\theta_n}$$滿足這個不等式稱為自鎖：在靜態下，螺旋不會被負載倒推。但要注意，即使滿足這個不等式，振動仍可能使它自行下降。
補充：例 5-3 的螺紋本身並不自鎖：\(\mu_1=0.12\) 時自鎖要 \(\alpha\le7.06^\circ\)，而四線螺紋的 \(\alpha=15.8^\circ\)。若軸環沒有摩擦，\(T_{lower}=-69.3\) in·lb，負載會自行下降；正是軸環的摩擦使 \(T_{lower}=+50.7\) in·lb。
原圖對照（下降與自鎖）
效率 Efficiency
沒有摩擦時（\(\mu_1=\mu_2=0\)），舉升所需扭矩為 \(T'=r_tW\tan\alpha\)。效率定義為
$$\eta=\frac{T'}{T_{raise}}$$軸環摩擦可忽略（\(\mu_2=0\)）時：
$$T_{raise}=Wr_t\frac{\cos\theta_n\tan\alpha+\mu_1}{\cos\theta_n-\mu_1\tan\alpha}\ \Longrightarrow\ \eta=\frac{\cos\theta_n-\mu_1\tan\alpha}{\cos\theta_n+\mu_1\cot\alpha}$$補充：效率在 \(\alpha\) 接近 45° 時最高，但動力螺旋的 \(\alpha\) 通常小於 10°，效率約只有 25%～65%。把自鎖條件 \(\mu_1=\cos\theta_n\tan\alpha\) 代入效率式，得 \(\eta=\tfrac12\left(1-\tan^2\alpha\right)<50\%\)：自鎖的螺旋，效率必定低於 50%。例 5-3 不計軸環時 \(\eta=67\%\)，計入軸環摩擦則只有 \(T'/T_{raise}=127.3/309.6=41\%\)。
原圖對照（效率與 Fig. 5-14）
鎖緊扭矩 Torque Required to Produce Clamping Force
標準的 60° 螺紋螺栓廣泛用來產生夾緊力 \(W\)，所需扭矩可用動力螺旋的公式求得。對 1/2 in 以上的螺栓，取 \(\theta=30^\circ\)、\(\mu_1=\mu_2\)，並用 Table 5-1 的資料，平均的鎖緊扭矩為：
| 螺紋 | \(\mu\) | 原講義 | 本站重算（平均） |
|---|---|---|---|
| 粗牙 | 0.15 | \(T=0.195dW\) | 0.192（20 種尺寸） |
| 粗牙 | 0.10 | \(T=0.135dW\) | 0.134 |
| 細牙 | 0.15 | \(T=0.189dW\) | 0.189（10 種尺寸） |
| 細牙 | 0.10 | \(T=0.130dW\) | 0.130 |
式中 \(d\) 為螺栓的大徑（公稱直徑）。軸環半徑取螺栓直徑與螺帽對邊寬的平均半徑。
補充：本站以上述假設、對 Table 5-1 中 1/2 in 以上各尺寸逐一計算 \(T/(dW)\) 後取平均，與原講義相差 1.5% 以內。實務上常寫成 \(T=KdW\)，\(K\approx0.2\)，大約一半的扭矩消耗在螺帽座面的摩擦、四成在螺紋摩擦，真正用來拉長螺栓的只有一成左右；潤滑狀態對夾緊力的影響很大。
原圖對照（鎖緊扭矩）
