正齒輪的彎曲應力Bending Stress (AGMA)

本頁為原講義「Bending」頁的前半：AGMA 彎曲應力公式與各修正係數；幾何係數 \(J\)、容許應力與其餘係數見下一頁正齒輪的彎曲強度設計。

AGMA 彎曲應力公式 Bending Stress Equation

補充背景：Lewis（1892）把輪齒看成齒根固定的懸臂梁，得到 \(\sigma=\dfrac{W_tP_d}{FY}\)（\(Y\) 為 Lewis 形狀係數）。AGMA 以它為基礎，把動態負載、負載分布、應力集中等影響都寫成修正係數。

齒面間的法向力 \(W_n\) 沿作用線，切向分力 \(W_t=W_n\cos\phi\) 才產生扭矩（受力圖見正齒輪）。補充：由傳遞功率求 \(W_t\)：

原圖對照（公式與受力）

\(K_o\) 過負荷係數 Overload Factor

過負荷係數考慮所有超過名目切向力的外加負載。取 \(K_o=1.0\) 時，可承受最高 200% 的瞬間過負荷；需要更大的承受能力時，\(K_o\) 要取大於 1.0。

補充：常用的參考值（Shigley 教科書）；原講義未附表。

原圖對照

\(K_v\) 動態係數 Dynamic Factor

動態係數考慮輪齒非共軛嚙合在內部產生的負載。即使輸入扭矩與轉速固定，齒輪質量仍可能明顯振動，產生動態齒力；齒輪精度與對準的誤差會造成傳動誤差，使 \(K_v\) 大於 1.0。沒有實際動態負載資料時，AGMA 用節線速度 \(v_t\) 與品質等級 \(Q_v\) 計算：

製程控制達到「非常精確的齒輪」等級（或設計與製造能確保同等低的傳動誤差）時，\(K_v\) 可取 1.02～1.11；但齒輪必須維持準確對準並充分潤滑，才能保持這個精度。各品質等級建議的最高節線速度為

補充：上圖由公式計算，每條曲線畫到 \(v_{t,max}\) 為止；例如 \(Q_v=11\) 時 \(A=92\)、\(v_{t,max}=10\,000\) ft/min，該處 \(K_v=1.20\)。

原圖對照（動態係數）

\(K_s\) 尺寸係數 Size Factor

尺寸係數反映材料性質的不均勻。AGMA 雖然列有 \(K_s\)，但尚未訂出標準值，建議大多數齒輪取 \(K_s=1.0\)。

原圖對照

\(K_m\) 負載分布係數 Load Distribution Factor

負載分布係數考慮負載沿齒寬分布不均。軸向偏斜會造成這種不均，齒寬越大越明顯。AGMA 建議：

\(C_{mc}\) 導程修正係數：修正齒冠修整（crowning）或導程修正對峰值負載的影響。未修整的齒取 1.0，經適當齒冠修整或導程修正的取 0.8。

編註：原講義在這裡附的兩張圖是冠狀齒輪（crown gear／face gear，齒做在圓盤端面上的齒輪），與此處的齒冠修整（crowning：把齒面沿齒寬方向修成中間略凸）不是同一件事。上圖為補充的齒冠修整示意。

\(C_{pf}\) 小齒輪比例係數（\(F\)、\(d\) 以 in 計，\(d\) 為小齒輪節圓直徑）：

\(F/(10d)<0.05\) 時，式中取 \(F/(10d)=0.05\)。編註：原講義第二式寫 \(1.0

\(C_{pm}\) 小齒輪比例修正係數：小齒輪在兩軸承之間越偏離中央，負載越不均：

$$C_{pm}=1.0\quad\left(\frac{S_1}S<0.175\right),\qquad C_{pm}=1.2\quad\left(\frac{S_1}S\ge0.175\right)$$

\(C_{ma}\) 嚙合對準係數：考慮兩齒輪節圓柱的轉軸因彈性變形以外的各種原因而偏斜：

$$C_{ma}=A+BF+CF^2$$

齒輪型式	\(A\)	\(B\)	\(C\)
開放式齒輪	0.247	0.0167	−0.765×10⁻⁴
商用封閉齒輪箱	0.127	0.0158	−1.093×10⁻⁴
精密封閉齒輪箱	0.0675	0.0128	−0.926×10⁻⁴
超精密封閉齒輪箱	0.0380	0.0102	−0.822×10⁻⁴

資料來源：AGMA 2001-C95（原講義 Table 10-2）。

\(C_e\) 嚙合對準修正係數：考慮製造與組裝方式對嚙合對準的影響。組裝時經過調整、或以研磨（lapping）改善配合時 \(C_e=0.8\)；其他情況 \(C_e=1.0\)。

原圖對照（負載分布係數）

\(K_B\) 輪緣厚度係數 Rim Thickness Factor

齒輪做成輪緣加輪輻、而不是實心圓盤時，可能從輪緣斷裂，而不是從齒根斷齒。AGMA 用背厚比（backup ratio）表示輪緣的相對厚度：

$$m_B=\frac{t_R}{h_t}$$

\(t_R\)：齒根以下的輪緣厚度；\(h_t\)：全齒深。

$$K_B=1.6\ln\frac{2.242}{m_B}\quad(0.5\le m_B<1.2),\qquad K_B=1.0\quad(m_B\ge1.2)$$

不建議背厚比小於 0.5；實心圓盤齒輪 \(K_B=1.0\)。

原圖對照（輪緣厚度係數）

補充例題（上） Example, Part 1

一個 24 齒、徑節 \(P_d=8\) 的 20° 小齒輪，齒寬 \(F=1.5\) in，以 1200 rpm 傳遞 10 hp；電動機帶動中度衝擊的機械，品質等級 \(Q_v=7\)，裝在商用封閉齒輪箱中，齒未修整，小齒輪在兩軸承中央附近（\(S_1/S<0.175\)），實心圓盤。 $$d=\frac{24}8=3\ \text{in},\qquad v_t=\frac{\pi(3)(1200)}{12}=942.5\ \text{ft/min},\qquad W_t=\frac{33\,000(10)}{942.5}=350.1\ \text{lb}$$

\(K_o=1.25\)（查上表），\(K_s=1.0\)，\(K_B=1.0\)。動態係數：

$$B=0.25(12-7)^{0.667}=0.7314,\qquad A=50+56(1-0.7314)=65.04,\qquad K_v=\left(\frac{65.04+\sqrt{942.5}}{65.04}\right)^{0.7314}=1.327$$

（\(v_{t,max}=(65.04+4)^2=4767\) ft/min，速度在範圍內。）負載分布係數：

$$\frac F{10d}=0.05,\quad C_{pf}=0.05-0.0375+0.0125(1.5)=0.0313,\quad C_{ma}=0.127+0.0158(1.5)-1.093\times10^{-4}(1.5)^2=0.1505$$ $$K_m=1+1.0\left[(0.0313)(1.0)+(0.1505)(1.0)\right]=1.182$$ $$\sigma_t=\frac{(350.1)(1.25)(1.327)(1.0)\left(\dfrac8{1.5}\right)(1.182)(1.0)}{J}=\frac{3660}{J}\ \text{psi}$$

幾何係數 \(J\) 與是否安全，接續下一頁的例題。若改用輪緣厚 \(t_R=0.3\) in 的輪輻式齒輪：\(h_t=2.25/8=0.28125\) in，\(m_B=1.067\)，\(K_B=1.6\ln(2.242/1.067)=1.19\)，應力增加 19%。

教科書附的 Excel：Module 10-1（彎曲應力，含巨集）。

編註：Module 10-1 計算 \(K_m\) 的巨集有兩個錯誤：\(C_{pf}\) 中間那一式把 −0.0375 寫成 −0.375；最後一行寫成 \(1+C_{mc}(C_{pf}C_{pm}+C_{ma}+C_e)\)，把 \(C_{ma}C_e\) 誤寫成相加。以檔案內建的例子（14 齒、\(P_d=6\)、\(F=2\) in，巨集假設開放式齒輪、\(C_{mc}=C_{pm}=C_e=1\)）計算，正確的 \(K_m=1.353\)，巨集卻得到 2.016，彎曲應力因此高估約 49%（偏保守）；教科書例題 10-12「小齒輪不安全」的結論就是這個錯誤造成的，見下一頁。使用時請自行改正，或依本頁公式手算。巨集也固定採用開放式齒輪、跨裝小齒輪與 \(C_e=1\)，與實際條件不同時要另外調整。

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