正齒輪的點蝕Pitting Resistance (AGMA)
點蝕（pitting）是齒面在反覆的接觸應力作用下，表面下方產生疲勞裂紋、最後剝落成小坑的破壞（接觸應力的理論見第 8 章 接觸應力）。下面的光彈照片可以看到兩齒接觸處的應力條紋高度集中。
原圖對照（光彈照片）
點蝕應力公式 Pitting Stress
點蝕破壞的應力型態是接觸應力。齒面點蝕應力的基本公式與設計條件為：
| 符號 | 意義 |
|---|---|
| \(s_c\) | 接觸應力（psi） |
| \(C_p\) | 彈性係數（\(\sqrt{\text{psi}}\)） |
| \(W_t,\ K_o,\ K_v,\ K_m\) | 同彎曲應力（見彎曲應力） |
| \(C_f\) | 表面狀況係數 |
| \(d\) | 小齒輪的工作節圓直徑（in）：外齒輪 \(d=\dfrac{2C}{m_G+1}\)，內齒輪 \(d=\dfrac{2C}{m_G-1}\)（\(C\) 為工作中心距，\(m_G\ge1\) 為齒數比） |
| \(F\) | 較窄者的淨齒寬（in） |
| \(I\) | 點蝕幾何係數 |
| \(S_{ac},\ Z_N,\ C_H,\ S_H\) | 容許接觸應力、應力循環係數、硬度比係數、點蝕安全係數 |
| \(K_T,\ K_R\) | 溫度係數、可靠度係數（同彎曲） |
原講義說明：節圓直徑 \(d\) 在應力式的分母，所以「其他條件相同時，節圓較小的齒輪應力較高」，因此齒輪組中通常是小齒輪先點蝕；小齒輪齒數少，每個齒承受的接觸次數按比例較多。有些設計者只檢查小齒輪的點蝕，這在多數情況可行，但兩齒輪材料差異很大時會出問題，例如鋼小齒輪配塑膠大齒輪，大齒輪很可能先點蝕。所以只要有疑慮，兩個齒輪都要檢查。
編註：依 AGMA，式中的 \(d\) 是小齒輪的節圓直徑，兩齒在嚙合點的接觸應力 \(s_c\) 其實相同（作用力、反作用力與接觸面積都一樣）。小齒輪通常先點蝕，原因是每個齒的接觸次數較多（影響 \(Z_N\)），而不是它的 \(s_c\) 較大；兩齒輪要分別檢查，是因為右邊的容許值（材料 \(S_{ac}\)、\(Z_N\)、\(C_H\)）不同。教科書附的 Module 10-2 計算大齒輪時把 \(d\) 換成大齒輪直徑，算出較小的 \(s_c\)，與公式的定義不符。另外，AGMA 2001 的公式根號內還有尺寸係數 \(K_s\)，此處取 \(K_s=1\) 省略。
原圖對照（點蝕公式）
\(C_p\) 彈性係數 Elastic Coefficient
$$C_p=\sqrt{\frac{1}{\pi\left[\left(\dfrac{1-\mu_P^2}{E_P}\right)+\left(\dfrac{1-\mu_G^2}{E_G}\right)\right]}}$$\(\mu_P,\ \mu_G\)：小齒輪、大齒輪的蒲松比；\(E_P,\ E_G\)：彈性係數（psi）。補充：鋼對鋼（\(E=30\times10^6\) psi、\(\mu=0.3\)）時 \(C_p=2291\ \sqrt{\text{psi}}\)。
\(C_f\) 表面狀況係數 Surface Condition Factor
表面狀況係數取決於表面粗糙度、殘留應力與塑性效應。AGMA 尚未訂出標準值；除非表面狀況對運轉有害，建議取 \(C_f=1.0\)。
\(I\) 點蝕幾何係數 Geometry Factor for Pitting
點蝕幾何係數考慮兩齒接觸處的曲率半徑。和彎曲的 \(J\) 不同，\(I\) 可以用 AGMA 的關係式直接算出：
$$I=\frac{\cos\phi}{\left(\dfrac1{\rho_P}\pm\dfrac1{\rho_G}\right)2r_P},\qquad \rho_P=\sqrt{\left(r_P+a\right)^2-\left(r_P\cos\phi\right)^2}-\frac\pi{P_d}\cos\phi,\qquad \rho_G=C\sin\phi\mp\rho_P$$\(r_P\)：小齒輪節圓半徑；\(C\)：中心距；\(a=(1+x_P)/P_d\) 為齒冠高，\(x_P\) 是不等齒冠時齒冠加長的比例（加長 50% 時 \(x_P=0.5\)）。上面的符號用於外齒輪，下面的用於內齒輪。
補充：漸開線上一點的曲率半徑，就是該點沿作用線到基圓切點的距離。\(\rho_P\) 式的第一項是 \(T_1\) 到小齒輪齒頂接觸點的距離，減去一個基節 \(p_b=(\pi/P_d)\cos\phi\)，得到小齒輪的最低單齒接觸點（LPSTC）——單齒承受全部負載、曲率又最小的位置。兩個半徑相加等於作用線 \(T_1T_2\) 的長度 \(C\sin\phi\)。把兩齒面看成半徑 \(\rho_P\)、\(\rho_G\) 的兩個圓柱互壓，\(s_c\) 就是 Hertz 線接觸的最大壓應力（本站驗證程式已用第 8 章的 Hertz 公式核對）。
原圖對照（Cp、Cf、I）
\(S_{ac}\) 容許接觸應力 Allowable Contact Stress
容許接觸應力取決於材料成分、潔淨度、殘留應力、微結構、品質、熱處理與加工方式。下圖為全硬化鋼齒輪的 \(S_{ac}\)（Grade 2 需要冶金與品質管制程序），下表為鑄鐵與青銅齒輪的值；其他材料請查 AGMA 2001-C95。
| 材料 | 牌號 | 熱處理 | 最低表面硬度 | \(S_{ac}\)（psi） |
|---|---|---|---|---|
| ASTM A48 灰鑄鐵 | Class 20 | 鑄造 | — | 50 000～60 000 |
| Class 30 | 鑄造 | 174 HB | 65 000～75 000 | |
| Class 40 | 鑄造 | 201 HB | 75 000～85 000 | |
| ASTM A536 延性（球墨）鑄鐵 | 60-40-18 | 退火 | 140 HB | 77 000～92 000 |
| 80-55-06 | 淬火回火 | 179 HB | 77 000～92 000 | |
| 100-70-03 | 淬火回火 | 229 HB | 92 000～112 000 | |
| 120-90-02 | 淬火回火 | 269 HB | 103 000～126 000 | |
| 青銅 | — | 砂模鑄造 | 最低抗拉強度 40 000 psi | 30 000 |
| ASTM B-148 Alloy 954 | 熱處理 | 最低抗拉強度 90 000 psi | 65 000 |
一般設計用下限，條件同彎曲（AGMA 2001-C95，原講義 Table 10-7）。編註：原表最右欄的標題寫成「Allowable Bending Stress」，應為容許接觸應力。
原圖對照（容許接觸應力）
\(Z_N\) 應力循環係數 Stress Cycle Factor
點蝕的應力循環係數用來依需要的循環次數調整容許應力。理論基礎和彎曲的 \(Y_N\) 類似，但數值可能完全不同。循環次數是所分析的齒在負載下嚙合的次數；AGMA 的容許應力以 \(10^7\) 次單向負載循環、99% 可靠度訂定，符合時取 \(Z_N=1.0\)，其他次數依下圖。
\(10^7\) 次以上在陰影帶內選擇，受潤滑狀態、失效判準、運轉平順要求、節線速度、材料潔淨度、延性與破裂韌性、殘留應力影響；保守時取下限 \(2.466N^{-0.056}\)。
\(C_H\) 硬度比係數 Hardness Ratio Factor
小齒輪通常比大齒輪小，它的齒承受較多次接觸。硬度比係數用來補償大齒輪在使用期間較低的磨耗，取決於齒數比、小齒輪的表面粗糙度與兩齒輪的硬度。這個係數只用於大齒輪，不用於小齒輪。全硬化齒輪：
$$C_H=1.0+A\left(m_G-1.0\right),\qquad m_G=\frac{N_G}{N_P}\ge1$$ $$A=\begin{cases}0 & H_{BP}/H_{BG}<1.2\\ 0.00898\left(H_{BP}/H_{BG}\right)-0.00829 & 1.2\le H_{BP}/H_{BG}\le1.7\\ 0.00698 & H_{BP}/H_{BG}>1.7\end{cases}$$\(H_{BP}\)、\(H_{BG}\) 為小齒輪、大齒輪的布氏硬度。
編註：(1) 原講義網頁漏放了接在 Table 10-7 後面的那一頁（\(Z_N\) 圖、\(A\) 的三種情況與 \(S_H\) 的說明，圖檔 GearP_10.gif 仍在資料夾中），本節與上一節依該頁補上。(2) Module 10-2 巨集的中段寫成 \(0.00898(H_{BP}/H_{BG})-0.00929\)，常數與本文的 −0.00829 不符（AGMA 2001 為 −0.00829）。補充：\(A\) 在 1.7 處接續（\(0.00898\times1.7-0.00829=0.00698\)），在 1.2 處則從 0 跳到 0.00249。
原圖對照（ZN 圖、CH、SH）
\(S_H\) 安全係數 Safety Factor
點蝕安全係數的選擇理由和彎曲的安全係數相似，但 \(S_H\) 可以和 \(S_F\) 不同，因為接觸應力各參數的不確定程度可能和彎曲不同。
例題 10-13 Example 10-13
檢查例題 10-12 的齒輪組是否會點蝕；小齒輪為 UNS C95400 青銅（HB 190），外齒輪。青銅 \(\mu=0.349\)、\(E=16.1\times10^6\) psi；鋼 \(\mu=0.300\)、\(E=30\times10^6\) psi。假設 \(C_f=Z_N=K_T=K_R=1.0\)，安全係數 \(S_H=2.0\)（Module 10-2）。兩齒輪材料不同，所以都要檢查。
\(K_v=1.515\)、\(K_m=1.353\)（同例題 10-12），\(d=2.333\) in：
$$s_c=1937\sqrt{\frac{(430)(1.0)(1.515)(1.353)(1.0)}{(2.333)(2.00)(0.0906)}}=88\,440\ \text{psi}$$小齒輪：\(S_{ac}=65\,000\)（Table 10-7），容許 \(65\,000/2.0=32\,500\) psi。大齒輪：\(S_{ac}=322(200)+29\,100=93\,500\)；\(H_{BP}/H_{BG}=0.95<1.2\)，\(C_H=1.0\)，容許 46 750 psi。
\(s_c\) 遠大於兩者：小齒輪和大齒輪都會點蝕，設計遠在破壞區內。因 \(s_c\propto\sqrt{W_t}\)，安全的最大負載為
$$W_{t,P}=430\left(\frac{32\,500}{88\,440}\right)^2=58.1\ \text{lb},\qquad W_{t,G}=430\left(\frac{46\,750}{88\,440}\right)^2=120.2\ \text{lb}$$與例題 10-12 比較可知，這對齒輪對點蝕遠比對斷齒脆弱。
編註：(1) 教科書寫「負載降到 113 lb 大齒輪即安全、降到 38 lb 兩者都安全」。38 lb 來自 Module 10-2 錯誤的 \(K_m\)（2.016，見彎曲應力頁的編註；照巨集算法小齒輪上限為 39.0 lb）；113 lb 則無法由巨集或正確公式重現（巨集算法 98 lb、正確公式 120 lb）。結論「兩者都會點蝕」不受影響。(2) 原文把 \(E\) 寫成 \(16.1\times10^{-6}\)、\(30\times10^{-6}\) psi，指數應為正 \(10^6\)（Module 10-2 中用的是正確值）。
原圖對照（例題 10-13）
教科書附的 Excel：Module 10-2（點蝕，含巨集；\(K_m\)、\(C_H\) 與大齒輪 \(s_c\) 的算法有誤，見本頁編註）。
正齒輪的額定功率 Power Rating
所有點蝕與彎曲的參數都確定後，就能求出兩個齒輪都不會以任何一種模式破壞的最大切向力 \(W_t\)，再用下式求出在某轉速下可傳遞的最大馬力：
$$hp=\frac{W_tv_t}{33\,000}$$彎曲的最大負載（正確 \(K_m\)）：小齒輪 \(430\times11\,800/8017=633\) lb、大齒輪 \(430\times14\,130/7349=827\) lb；點蝕的最大負載：小齒輪 58.1 lb、大齒輪 120.2 lb。由小齒輪點蝕控制，\(W_t=58.1\) lb：
$$hp=\frac{(58.1)(1527)}{33\,000}=2.69\ \text{hp}$$編註：教科書用 \(W_t=38\) lb 得 1.758 hp，這個 38 lb 同樣來自錯誤的 \(K_m\)；題目寫「Examples 10-11 and 10-12」應為 10-12 與 10-13。
原圖對照（例題 10-14）
補充例題（續） Example, Part 3
彎曲的安全係數有 1.88，點蝕卻只有 0.99（取陰影帶上限 \(Z_N=0.921\) 時為 1.12）：點蝕控制設計。改用 HB 350 的鋼（\(S_{ac}=141\,800\) psi），\(S_H\) 提高到 1.29。