機械設計 Machine Design

正齒輪Spur Gears

共軛作用與漸開線 Conjugate Action & the Involute

兩個嚙合的齒輪，若輪齒的形狀能讓兩者在嚙合過程中保持固定的角速度比，稱為具有共軛作用（conjugate action）。為了得到共軛作用，齒形幾乎一律採用漸開線（involute）。

基圓弧長 rb·t繩長 = rb·t漸開線(a) 繩子由基圓展開，繩端畫出漸開線Prb1​rb2​作用線(b) 像交叉皮帶：轉速比 = rb2/rb1，固定不變

補充：把繩子繞在圓（基圓，半徑 \(r_b\)）上再拉緊展開，繩端畫出的曲線就是漸開線。繩子永遠與基圓相切，所以漸開線上每一點的法線都是基圓的切線。兩個齒輪的漸開線齒面接觸時，接觸點的公法線就是兩基圓的內公切線——作用線（line of action），像一條交叉皮帶。接觸點只會沿這條固定的線移動，作用線穿過連心線的點 P 稱為節點，兩齒輪的轉速比恆為

$$\frac{\omega_1}{\omega_2}=\frac{r_{b2}}{r_{b1}}=\frac{r_2}{r_1}=\frac{N_2}{N_1}$$

作用線與節點處公切線的夾角就是壓力角 \(\phi\)（常用 20°，舊標準 14.5°），基圓半徑 \(r_b=r\cos\phi\)。漸開線還有一個重要的性質：中心距稍有誤差時，轉速比仍然不變。

嚙合動畫 Gear Mesh (Interactive)

自製互動動畫（補充）：左邊小齒輪（橘）逆時針帶動右邊大齒輪（藍）。黃色點鏈線為節圓、紅色虛線為基圓；紫線為作用線（T₁T₂），加粗段是兩齒冠圓之間的接觸路徑；紅點是目前的接觸點——每一點都由齒面與作用線的交點算出，可以看到它們只沿作用線移動。拖曳滑桿改變齒數與壓力角；勾選「放大嚙合區」可看清楚接觸點。長度以模數 m 為單位。

接觸路徑長 \(Z\) 除以基節 \(p_b\)（相鄰兩齒沿作用線的距離）稱為接觸比，代表平均同時嚙合的齒對數；一般要求 \(m_c\ge1.2\)，前一對齒脫離前下一對才已經接上：

$$m_c=\frac{Z}{p_b},\qquad Z=\sqrt{r_{a1}^2-r_{b1}^2}+\sqrt{r_{a2}^2-r_{b2}^2}-C\sin\phi,\qquad p_b=p\cos\phi$$
原圖對照（嚙合與作用線）
正齒輪
正齒輪
正齒輪

各部名稱 Nomenclature

abht​2at齒間周節 p齒頂面 top land齒面 face齒腹 flank齒底面 bottom land灰虛線：齒冠圓、齒根圓　黃：節圓紫點線：頂隙圓（對方齒頂到此）a 齒冠、b 齒根、t 齒厚ht 全齒深 = a + b、2a 工作齒深

補充：齒輪的大小用模數 \(m\)（SI，mm）或徑節 \(P\)（英制，每吋節圓直徑的齒數）表示，兩者互為倒數關係（\(m=25.4/P\)）。標準全齒深的尺寸：

$$d=mN=\frac NP,\qquad p=\frac{\pi d}N=\pi m=\frac\pi P,\qquad a=m=\frac1P,\qquad b=1.25m=\frac{1.25}P$$

全齒深 \(a+b=2.25m\)；兩齒輪齒冠相加的工作齒深 \(2a\)；頂隙 \(c=b-a=0.25m\)，讓對方的齒頂不會碰到齒根。節圓上齒厚 \(t\) 與齒間各為周節的一半（無背隙時）。齒寬（face width）是沿軸向的寬度，圖中看不到；原圖把它記為 \(b\)，與齒根同一個符號，要依上下文區分。

補充例題　一對 20° 標準正齒輪，徑節 \(P=8\) 齒/in，\(N_1=20\)、\(N_2=40\)： $$d_1=\frac{20}8=2.5\ \text{in},\quad d_2=5\ \text{in},\quad C=3.75\ \text{in},\quad p=\frac\pi8=0.3927\ \text{in},\quad a=0.125\ \text{in},\quad b=0.15625\ \text{in}$$ $$r_{b1}=1.25\cos20^\circ=1.1746,\quad r_{b2}=2.3492,\quad r_{a1}=1.375,\quad r_{a2}=2.625,\quad p_b=0.3690\ \text{in}$$ $$Z=\sqrt{1.375^2-1.1746^2}+\sqrt{2.625^2-2.3492^2}-3.75\sin20^\circ=0.6034\ \text{in},\qquad m_c=\frac{0.6034}{0.3690}=1.64$$

轉速比 \(\omega_1/\omega_2=40/20=2\)。在上面的動畫把齒數設成 20、40、壓力角 20°，可以看到同樣的接觸比。

原圖對照（各部名稱）
正齒輪

干涉與根切 Interference & Undercut

(a) N = 10：根切根切(b) N = 24：沒有根切藍：齒條刀具展成的齒形　黃虛線：理想漸開線齒形　紅虛線：基圓　橘：刀具（θ = 0 的位置）

漸開線只存在於基圓以外。齒數太少時，對方齒頂（或展成用的齒條刀具）會伸進基圓以內，與非漸開線的部分互相干涉；用齒條刀具展成加工時，刀具會把齒根切掉一塊，稱為根切（undercut）。根切的齒根變細，正好位在彎曲應力最大的地方，強度大減。

補充：以齒條展成時，不發生根切的最少齒數為

$$N_{min}=\frac{2}{\sin^2\phi}:\qquad \phi=14.5^\circ\to32,\qquad \phi=20^\circ\to18,\qquad \phi=25^\circ\to12$$

（\(2/\sin^2\phi\) 分別為 31.9、17.1、11.2，取大於它的整數。）上圖是模擬齒條刀具一邊平移、齒輪一邊轉動時一刀刀切出的齒形：10 齒時根部明顯比理想漸開線（黃虛線）凹進去，24 齒則完全吻合。

原圖對照（根切）
正齒輪

兩種主要破壞模式 Failure Modes

W（沿作用線）Wt​ = W cos φWr​ = W sin φ齒根斷面：彎曲應力最大 → 斷齒齒面接觸應力→ 點蝕

齒輪破壞有兩種主要原因：

  • 彎曲應力：最大在齒根，造成斷齒。
  • 壓應力（接觸應力）：最大在齒面，造成點蝕（pitting）。

輪齒的負載是反覆的，所以兩者都是疲勞破壞，設計時兩者都要檢核。要抵抗高的接觸應力，齒面必須有足夠的硬度；材料的雜質越少，抗疲勞能力通常越好。

補充：齒面間的力 \(W\) 沿作用線，分成切向分力 \(W_t\)（傳遞扭矩）與徑向分力 \(W_r\)（把兩齒輪推開）：

$$W_t=W\cos\phi=\frac{2T}{d},\qquad W_r=W\sin\phi=W_t\tan\phi$$
原圖對照（輪齒的有限元素應力圖）
正齒輪

詳細的強度計算（AGMA）見正齒輪的彎曲應力、彎曲強度設計與點蝕。原講義另有一個課程舊網站的連結，伺服器已無回應。