正齒輪的彎曲強度設計Bending Strength Design (AGMA)
本頁為原講義「Bending」頁的後半：幾何係數 \(J\)、容許應力與其餘係數、例題。彎曲應力公式與 \(K_o\)～\(K_B\) 見上一頁正齒輪的彎曲應力：
\(J\) 彎曲強度幾何係數 Bending Strength Geometry Factor
幾何係數 \(J\) 可依 AGMA 908-B89 的演算法計算；因為很複雜，標準也提供各種齒輪的表。\(J\) 隨齒數而變，所以小齒輪與大齒輪的應力不同，兩者都要計算，看哪一個較大。
表中可選擇負載作用在齒頂，或作用在最高單齒接觸點（HPSTC，highest point of single tooth contact）。高精度齒輪可以假設齒間會分擔負載，用 HPSTC 表；精度不足時，可能只有一對齒受力，應該用齒頂負載。需要表中沒有的資料時，請查 AGMA 908-B89。
補充：接觸比大於 1 時，負載沿作用線移動的過程中，有一段只由一對齒承受（單齒接觸區）。HPSTC 是這一段在小齒輪齒面上的最高點：由嚙合起點沿作用線再走一個基節 \(p_b\)。它比齒頂低，彎曲的力臂較短，所以 HPSTC 表的 \(J\) 較大。上圖 21／55 齒時 HPSTC 在半徑 10.62m，略高於節圓（10.5m）。
各表每格為「小齒輪 \(J\) / 大齒輪 \(J\)」，資料來源 AGMA 908-B89（原講義 Table 10-3A、10-3D、10-4A、10-4D），全齒深、等齒冠。
壓力角 20°，負載在齒頂（Table 10-3A）
| 大齒輪＼小齒輪 | 12 | 14 | 17 | 21 | 26 | 35 | 55 | 135 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 12 | U | |||||||
| 14 | U | U | ||||||
| 17 | U | U | U | |||||
| 21 | U | U | U | 0.24 / 0.25 | ||||
| 26 | U | U | U | 0.24 / 0.25 | 0.25 / 0.25 | |||
| 35 | U | U | U | 0.24 / 0.26 | 0.25 / 0.26 | 0.26 / 0.26 | ||
| 55 | U | U | U | 0.24 / 0.28 | 0.25 / 0.28 | 0.26 / 0.28 | 0.28 / 0.28 | |
| 135 | U | U | U | 0.24 / 0.29 | 0.25 / 0.29 | 0.26 / 0.29 | 0.28 / 0.29 | 0.29 / 0.29 |
壓力角 20°，負載在 HPSTC（Table 10-3D）
| 大齒輪＼小齒輪 | 12 | 14 | 17 | 21 | 26 | 35 | 55 | 135 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 12 | U | |||||||
| 14 | U | U | ||||||
| 17 | U | U | U | |||||
| 21 | U | U | U | 0.33 / 0.33 | ||||
| 26 | U | U | U | 0.33 / 0.35 | 0.35 / 0.35 | |||
| 35 | U | U | U | 0.34 / 0.37 | 0.36 / 0.38 | 0.39 / 0.39 | ||
| 55 | U | U | U | 0.34 / 0.40 | 0.37 / 0.41 | 0.40 / 0.42 | 0.43 / 0.43 | |
| 135 | U | U | U | 0.35 / 0.43 | 0.38 / 0.44 | 0.41 / 0.45 | 0.45 / 0.47 | 0.49 / 0.49 |
壓力角 25°，負載在齒頂（Table 10-4A）
| 大齒輪＼小齒輪 | 12 | 14 | 17 | 21 | 26 | 35 | 55 | 135 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 12 | U | |||||||
| 14 | U | 0.28 / 0.28 | ||||||
| 17 | U | 0.28 / 0.30 | 0.30 / 0.30 | |||||
| 21 | U | 0.28 / 0.31 | 0.30 / 0.31 | 0.31 / 0.31 | ||||
| 26 | U | 0.28 / 0.33 | 0.30 / 0.33 | 0.31 / 0.33 | 0.33 / 0.33 | |||
| 35 | U | 0.28 / 0.34 | 0.30 / 0.34 | 0.31 / 0.34 | 0.33 / 0.34 | 0.34 / 0.34 | ||
| 55 | U | 0.28 / 0.36 | 0.30 / 0.36 | 0.31 / 0.36 | 0.33 / 0.36 | 0.34 / 0.36 | 0.36 / 0.36 | |
| 135 | U | 0.28 / 0.38 | 0.30 / 0.38 | 0.31 / 0.38 | 0.33 / 0.38 | 0.34 / 0.38 | 0.36 / 0.38 | 0.38 / 0.38 |
壓力角 25°，負載在 HPSTC（Table 10-4D）
| 大齒輪＼小齒輪 | 12 | 14 | 17 | 21 | 26 | 35 | 55 | 135 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 12 | U | |||||||
| 14 | U | 0.33 / 0.33 | ||||||
| 17 | U | 0.33 / 0.36 | 0.36 / 0.36 | |||||
| 21 | U | 0.33 / 0.39 | 0.36 / 0.39 | 0.39 / 0.39 | ||||
| 26 | U | 0.33 / 0.41 | 0.37 / 0.42 | 0.40 / 0.42 | 0.43 / 0.43 | |||
| 35 | U | 0.34 / 0.44 | 0.37 / 0.45 | 0.40 / 0.45 | 0.43 / 0.46 | 0.46 / 0.46 | ||
| 55 | U | 0.34 / 0.47 | 0.38 / 0.48 | 0.42 / 0.49 | 0.44 / 0.49 | 0.47 / 0.50 | 0.51 / 0.51 | |
| 135 | U | 0.35 / 0.51 | 0.38 / 0.52 | 0.42 / 0.53 | 0.45 / 0.53 | 0.48 / 0.54 | 0.53 / 0.56 | 0.57 / 0.57 |
「U」表示這組齒數會在其中一個或兩個齒輪產生根切齒形，應該避免。
編註：Table 10-3A（20°、齒頂）中大、小齒輪都是 21 齒的一格為 0.24 / 0.25；兩個齒輪齒數相同時幾何完全一樣，\(J\) 應該相等（其他表的對角格都相等），此格照原表轉錄，使用時宜取較小的 0.24。
補充：表中 20° 時 17 齒以下、25° 時 12 齒都標 U，比正齒輪頁的 \(2/\sin^2\phi\)（18、12 齒）稍嚴，因為 AGMA 的標準刀具齒條齒根深 1.25m、刀尖有約 0.3m 的圓角：把刀具直線段的深度 \(1.25-0.3(1-\sin\phi)\) 代入，得最少齒數 \(2[1.25-0.3(1-\sin\phi)]/\sin^2\phi\)＝18.0（20°）、12.06（25°），正好與表中標 U 的範圍一致。
原圖對照（J 係數表）
設計應力 Design Stress
$$S_d=\frac{S_{at}Y_N}{S_FK_TK_R}$$| 符號 | 意義 |
|---|---|
| \(S_d\) | 設計應力（容許的齒根彎曲應力） |
| \(S_{at}\) | 容許彎曲應力（psi） |
| \(Y_N\) | 彎曲強度的應力循環係數 |
| \(S_F\) | 彎曲強度的安全係數 |
| \(K_T,\ K_R\) | 溫度係數、可靠度係數 |
原圖對照
\(S_{at}\) 容許彎曲應力 Allowable Bending Stress
容許彎曲應力取決於材料成分、潔淨度、殘留應力、微結構、品質、熱處理與加工方式。AGMA 2001-C95 提供許多建議值；下圖為全硬化鋼齒輪 \(S_{at}\) 與齒面布氏硬度的關係（Grade 2 需要冶金與品質管制程序），下表為鑄鐵與青銅齒輪的值。其他材料請查 AGMA 標準。
| 材料 | 牌號 | 熱處理 | 最低表面硬度 | \(S_{at}\)（psi） |
|---|---|---|---|---|
| ASTM A48 灰鑄鐵 | Class 20 | 鑄造 | — | 5000 |
| Class 30 | 鑄造 | 174 HB | 8500 | |
| Class 40 | 鑄造 | 201 HB | 13 000 | |
| ASTM A536 延性（球墨）鑄鐵 | 60-40-18 | 退火 | 140 HB | 22 000～33 000 |
| 80-55-06 | 淬火回火 | 179 HB | 23 000～33 000 | |
| 100-70-03 | 淬火回火 | 229 HB | 27 000～40 000 | |
| 120-90-02 | 淬火回火 | 269 HB | 31 000～44 000 | |
| 青銅 | — | 砂模鑄造 | 最低抗拉強度 40 000 psi | 5700 |
| ASTM B-148 Alloy 954 | 熱處理 | 最低抗拉強度 90 000 psi | 23 600 |
一般設計用範圍的下限；材料品質高、斷面能充分熱處理、有適當檢驗的品管、或有運轉經驗佐證時，才可用上限（AGMA 2001-C95，原講義 Table 10-5）。
原圖對照（容許彎曲應力）
\(Y_N\) 應力循環係數 Stress Cycle Factor
應力循環係數用來調整容許的應力循環次數；循環次數是所分析的齒在負載下嚙合的次數。AGMA 的容許應力是以 \(10^7\) 次單向負載循環、99% 可靠度訂定的；符合這個條件就取 \(Y_N=1.0\)，其他循環次數依下圖決定。
約 \(3\times10^6\) 次以上，\(Y_N\) 在陰影帶內選擇，受節線速度、材料潔淨度、殘留應力、延性與破裂韌性影響；要保守時取下限 \(1.6831N^{-0.0323}\)。
原圖對照
\(K_T\) 溫度係數 Temperature Factor
油溫與齒輪本體溫度不超過 250 °F 時，溫度係數通常取 1.0。工作溫度會影響潤滑劑、材料延性與硬度，所以溫度高於 250 °F、或低於水的冰點時，要特別小心選擇這個係數；極端溫度下的運轉請查 AGMA 2001-C95。
\(K_R\) 可靠度係數 Reliability Factor
可靠度係數考慮材料試驗中失效的常態統計分布。\(K_R=1.0\) 對應 \(10^7\) 次循環時百分之一的失效機率；其他要求依下表：
| 應用要求 | \(K_R\) |
|---|---|
| 少於萬分之一失效 | 1.50 |
| 少於千分之一失效 | 1.25 |
| 少於百分之一失效 | 1.00 |
| 少於十分之一失效 | 0.85 |
| 少於二分之一失效 | 0.70 |
斷齒有時被視為比點蝕更危險，此時彎曲取較大的 \(K_R\)；0.85、0.70 時可能先發生塑性流動而非點蝕，0.70 為由試驗資料外插（AGMA 2001-C95，Table 10-6）。編註：原講義文字提到 Table 10-6，但網頁漏放這張表的圖（圖檔仍在資料夾中），本站補上。
原圖對照（可靠度係數）
例題 10-12 Example 10-12
一對品質等級 \(Q_v=6\) 的齒輪：壓力角 25°、AGMA 全齒深、HPSTC 負載；徑節 \(P_d=6\)、齒寬 \(F=2.00\) in、傳遞負載 \(W_t=430\) lb、節線速度 \(v_t=1527\) ft/min。小齒輪 14 齒，ASTM B148 青銅；大齒輪 17 齒，Grade 1 全硬化鋼、HB 200。實心圓盤，工作溫度不超過 180 °F。安全係數 \(S_F=2.0\)，判斷這對齒輪是否會彎曲破壞。
假設依 AGMA 標準設計，\(C_{mc}=C_{pm}=C_e=1.0\)；\(K_o=K_s=K_B=Y_N=K_T=K_R=1.0\)。教科書用 Module 10-1 計算（開放式齒輪）。
\(S_{at}\)：青銅小齒輪查 Table 10-5 得 23 600 psi；鋼大齒輪 \(77.3(200)+12\,800=28\,260\) psi。\(J\)：查 Table 10-4D（25°、HPSTC），大齒輪 17 齒、小齒輪 14 齒：\(J_P=0.33\)、\(J_G=0.36\)。
$$B=0.25(12-6)^{0.667}=0.8259,\quad A=50+56(1-0.8259)=59.75,\quad K_v=\left(\frac{59.75+\sqrt{1527}}{59.75}\right)^{0.8259}=1.515$$ $$d_P=\frac{14}6=2.333\ \text{in},\quad \frac F{10d}=0.0857,\quad C_{pf}=0.0857-0.0375+0.0125(2)=0.0732$$ $$C_{ma}=0.247+0.0167(2)-0.765\times10^{-4}(2)^2=0.2801,\qquad K_m=1+(0.0732+0.2801)=1.353$$ $$\sigma_{t,P}=\frac{(430)(1.515)(6)(1.353)}{(2)(0.33)}=8017\ \text{psi},\qquad \sigma_{t,G}=\frac{(430)(1.515)(6)(1.353)}{(2)(0.36)}=7349\ \text{psi}$$ $$S_{d,P}=\frac{23\,600}{2.0}=11\,800\ \text{psi},\qquad S_{d,G}=\frac{28\,260}{2.0}=14\,130\ \text{psi}$$兩者都是 \(\sigma_t
編註：教科書的結論是「小齒輪不安全、大齒輪安全；負載降到 425 lb 時小齒輪才安全」。這是 Module 10-1 巨集算錯 \(K_m\) 的結果（上一頁的編註）：巨集得到 \(K_m=2.016\)，小齒輪 \(\sigma_t=11\,936\) psi，剛好超過 11 800 psi；負載 425 lb 時 11 797 psi，剛好低於——兩個數字都只有用錯誤的 \(K_m\) 才會得到。以正確的 \(K_m=1.353\) 計算，小齒輪 \(\sigma_t\) 只有 8017 psi，安全餘裕很大。教科書最後提醒的仍然成立：即使彎曲安全，還要檢查點蝕。
原圖對照（例題 10-12）
教科書附的 Excel：Module 10-1（含巨集；\(K_m\) 計算有誤，見上一頁編註）。
補充例題（下） Example, Part 2
\(Q_v=7\) 的商用齒輪精度不足以假設負載分擔，用齒頂負載表（Table 10-3A）；24 齒不在表上，保守取較少齒數的 21 齒欄：\(J=0.24\)。
$$\sigma_t=\frac{3660}{0.24}=15\,250\ \text{psi},\qquad S_{at}=77.3(250)+12\,800=32\,125\ \text{psi}$$ $$N=(1200)(60)(5000)=3.6\times10^8,\qquad Y_N=1.6831\left(3.6\times10^8\right)^{-0.0323}=0.891\ \ (\text{保守取下限})$$ $$S_F=\frac{S_{at}Y_N}{\sigma_tK_TK_R}=\frac{(32\,125)(0.891)}{(15\,250)(1.0)(1.0)}=1.88$$彎曲的安全係數為 1.88。