接觸應力Contact Stresses (Hertz)
滾珠與滾道、齒輪的齒面、凸輪與從動件之間，理論上只在一點或一條線接觸；負載使接觸區彈性變形成一個很小的面積，局部壓應力因此非常大。這類應力由 Hertz 理論求得。（補充說明）
三種情形共用的材料常數與幾何常數（\(\mu\) 為蒲松比、\(E\) 為彈性係數、\(d\) 為直徑）：
$$C_E=\frac{1-\mu_1^2}{E_1}+\frac{1-\mu_2^2}{E_2},\qquad K_D=\frac{d_1d_2}{d_1+d_2}$$凹面（例如滾珠在滾道溝槽內）把 \(d_1\) 換成 \(-d_1\)：\(K_D=\dfrac{d_1d_2}{d_1-d_2}\)；平面為 \(d_1\to\infty\)：\(K_D=d_2\)。
兩球 Two Spheres
\(a\)：接觸圓半徑；\(\sigma_{z0}\)：接觸中心的最大壓應力；\(\delta\)：兩球中心互相接近的距離。補充：係數 1.040 即 \((9/8)^{1/3}\)，由 Hertz 解 \(\delta=a^2/R\)（\(R=K_D/2\)）得到。
只有 100 lb 的力，接觸應力就高達 438 ksi——所以軸承鋼都經過淬火、硬度很高。若改成放在半徑 0.26 in 的凹槽內（\(d_1=-0.52\) in）：\(K_D=13\)、\(a=0.0309\) in、\(\sigma_{z0}=-49\,900\) psi，應力只剩 1/8.8。這就是滾珠軸承把滾道做成與滾珠緊密貼合的溝槽的原因。
原圖對照（兩球）
教科書附的 Excel：Module 9-1（含巨集）
兩平行圓柱 Two Parallel Cylinders
\(b\)：接觸帶半寬；\(l\)：接觸長度。
原圖對照（兩圓柱）
教科書附的 Excel：Module 9-2（含巨集）
球對圓柱 Ball on a Cylinder
接觸面是長軸 \(2c\)、短軸 \(2d\) 的橢圓；係數依直徑比 \(d_1/d_2\)（\(d_1\) 為圓柱、\(d_2\) 為球）查表：
| \(d_1/d_2\) | 1 | 1.5 | 2 | 3 | 4 | 6 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\alpha\) | 0.908 | 1.045 | 1.158 | 1.350 | 1.515 | 1.767 | 2.175 |
| \(\beta\) | 0.908 | 0.799 | 0.734 | 0.651 | 0.602 | 0.544 | 0.481 |
| \(\lambda\) | 0.825 | 0.818 | 0.804 | 0.774 | 0.747 | 0.702 | 0.641 |
補充：\(d_1/d_2=1\) 時 \(\alpha=\beta\)，接觸面為圓形；此時結果與「直徑 \(d\) 的球壓在平面上」完全相同（本站驗證程式已核對 \(c\)、\(\sigma_{z0}\)、\(\delta\) 三者）。
原圖對照（球對圓柱）
教科書附的 Excel：Module 9-3（含巨集）
最大剪應力在表面下 Subsurface Shear（補充）
沿接觸中心軸往下，\(\sigma_z\) 與 \(\sigma_r\) 遞減的速度不同，兩者之差（最大剪應力）在表面下約 0.48a 處達到最大，約 \(0.31\,p_0\)（\(p_0=|\sigma_{z0}|\)）；上面公式中的 \(\tau_{max}\approx\tfrac13\sigma_{z0}\) 就是這個值的近似。
反覆滾動時，疲勞裂紋從這個表面下的位置開始，向表面擴展後造成表面剝落（pitting／spalling）——這是滾動軸承與齒面最典型的疲勞破壞型態，也是軸承壽命 \(L_{10}\) 所描述的現象。
圖中曲線由球接觸的 Hertz 解（中心軸上）計算：
$$\sigma_z=\frac{-p_0}{1+z^2/a^2},\qquad \sigma_r=\sigma_\theta=-p_0\left[(1+\nu)\left(1-\frac za\tan^{-1}\frac az\right)-\frac{1}{2(1+z^2/a^2)}\right]$$