軸頸軸承的流體動壓潤滑Hydrodynamic Lubrication of Journal Bearings
黏度的定義、單位與黏度—溫度圖見上一頁軸頸軸承與潤滑油黏度。
Petroff 方程式 Petroff's Equation
負載很輕時，軸頸幾乎位於軸承正中央，油膜厚度處處等於徑向間隙 \(c\)。把油膜沿圓周展開，就是兩平行板的情形：\(h\to c\)、面積 \(A\to2\pi rl\)。
$$\tau=\mu\frac{U}{h},\qquad F=\tau A=\mu\frac{U}{c}\,2\pi rl$$單位長度的摩擦力 \(F_1=F/l\)，整理成無因次形式即為 Petroff 方程式：
$$F_1=\frac{F}{l}=2\pi\mu\left(\frac rc\right)U\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{F_1}{\mu U}\left(\frac cr\right)=2\pi$$其中表面速度與轉速的關係、摩擦扭矩與摩擦馬力為：
$$U=r\omega,\qquad n\ (\text{rpm})=\frac{\omega}{2\pi}\times60,\qquad T=F_1lr,\qquad P\ (\text{hp})=\frac{T\ (\text{in·lb})\times n\ (\text{rpm})}{63\,025}$$原圖對照（Petroff 方程式）
潤滑狀態與 Zn/P 曲線 The Zn/P Curve
以實驗量得的摩擦係數 \(f\) 對 \(Zn/P\) 作圖：\(Z\) 為黏度（cP）、\(n\) 為轉速（rpm）、\(P\) 為投影面積上的單位負載（psi）。曲線分成三段：
- AB 邊界潤滑：重負載、低轉速、供油不足。油膜比兩表面粗糙峰的高度還薄，峰與峰可能互相咬合，只靠表面上吸附的一層潤滑劑避免卡死。
- BC 混合潤滑：兩面距離較大，負載一部分由粗糙峰、一部分由局部的油膜承擔。
- CD 流體動壓潤滑：黏度與轉速大、負載小，油膜厚而完整；摩擦只取決於油的黏度，與表面粗糙度和材料無關。下面的流體動壓理論只在這一段成立。
為了避免卡死，設計的 \(Zn/P\) 至少要取曲線最低點 C 的 5～6 倍。從 CD 段也可看出：潤滑面的摩擦係數隨速度增加而增加，這與乾摩擦（摩擦係數幾乎與速度無關）不同。用無因次座標做實驗，只要改變整個群組的值，不必逐一改變每個變數，可以省下很多工作。
補充：嚴格來說 \(Zn/P\) 用 cP、rpm、psi 這組單位時並非真正無因次；改用一致單位的 \(\mu N/P\)（\(N\) 為每秒轉數）才是無因次，它乘上 \((r/c)^2\) 就是常用的 Sommerfeld 數。
原圖對照（Zn/P 曲線）
油膜的形成 Formation of the Oil Film
(a) 靜止時，軸頸受負載 \(F\) 壓在軸承底部，金屬直接接觸。(b) 剛起動時，接觸點的摩擦使軸頸沿軸承壁往旋轉方向的反側「爬」上去（圖中順時針轉，軸頸爬向右側）。(c) 轉速增加後，軸頸把油帶進收斂的楔形間隙，產生的油壓把軸頸撐離軸承並推向另一側；此時軸頸中心與軸承中心相距偏心距 \(e\)，最薄處的油膜厚度為 \(h_0\)。
編註：原圖 (c) 把最小油膜 \(h_0\) 標在右下，與 (b) 起動時的接觸位置同側。依流體動壓理論，最小油膜位在負載線的下游側（油壓峰值在它之前的收斂區），順時針旋轉時應在左下；本頁下方的 Reynolds 數值解也得到相同結果，重繪圖依此繪製。
原圖對照（油膜的形成）
偏心率與最小油膜厚度 Eccentricity
軸頸中心 O 與軸承中心 O′ 的距離為偏心距 \(e\)，兩中心的連線稱為連心線，最小油膜 \(h_0\) 就在連心線上。定義偏心率
$$\varepsilon=\frac ec,\qquad 0\le\varepsilon\le1$$ $$c=h_0+\varepsilon c\ \Longrightarrow\ h_0=c-e=c\left(1-\varepsilon\right)$$\(\varepsilon=0\) 為同心（Petroff 的情形），\(\varepsilon\to1\) 表示油膜趨近於零、軸頸碰到軸承。
負載以投影面積上的單位負載 \(p\) 表示，摩擦係數為摩擦力與負載之比：
$$W=pld,\qquad W_1=\frac Wl=pd,\qquad f=\frac FW=\frac{F_1l}{W_1l}=\frac{F_1}{W_1}$$原圖對照（偏心率）
油膜壓力分布 Oil-Film Pressure
油被軸頸帶進收斂的間隙時壓力升高，在最小油膜之前達到最大值 \(p_{max}\)；過了最小油膜，間隙變寬（發散），壓力降到大氣壓附近，油膜在此破裂（空蝕），不再承載。整個壓力分布的合力與負載 \(W\) 平衡。全周軸承（full bearing）的軸承包住整圈軸頸；部分軸承（partial bearing）只包住承載的一段弧（例如 120°），負載方向固定時已足夠，而且摩擦較小。
補充：兩張圖由 Reynolds 方程 \(\dfrac{\partial}{\partial x}\left(h^3\dfrac{\partial p}{\partial x}\right)+\dfrac{\partial}{\partial z}\left(h^3\dfrac{\partial p}{\partial z}\right)=6\mu U\dfrac{\partial h}{\partial x}\)（\(h=c(1+\varepsilon\cos\theta)\)）以有限差分法數值求解，並令負壓處 \(p=0\)（Reynolds 邊界條件）；姿態角（最小油膜相對於負載線的角度）調整到油膜合力正好與負載方向相反。
原圖對照（壓力分布）
120° 中心部分軸承的設計圖 Load & Friction Characteristics
對一定的弧長（此處 120°，以負載線為中心），軸承的性能只取決於偏心率 \(\varepsilon\) 與長徑比 \(l/d\)，可整理成兩個無因次數：
$$\text{負載數}\ \ \frac{W_1}{\mu U}\left(\frac cr\right)^2,\qquad \text{摩擦數}\ \ \frac{F_1}{\mu U}\left(\frac cr\right)$$用法：由 \(\varepsilon\)、\(l/d\) 查出兩個數，或由其中一個反查 \(\varepsilon\)；再配合下列關係求負載、摩擦扭矩與摩擦馬力：
$$W=pdl,\quad W_1=pd,\quad T=F_1lr,\quad P\ (\text{hp})=\frac{Tn}{63\,025},\quad f=\frac{F_1}{W_1}$$兩數相除得 \(\dfrac{F_1}{W_1}\dfrac rc\)，只與 \(\varepsilon\)、\(l/d\) 有關、與黏度無關——例題 8-5 就利用這一點。\(\varepsilon\to0\) 時摩擦數趨近 \(2\pi/3\)：120° 軸承只有三分之一圈有油膜，正是 Petroff 值 \(2\pi\) 的三分之一。
| \(\varepsilon\) | \(\dfrac{W_1}{\mu U}\left(\dfrac cr\right)^2\) | \(\dfrac{F_1}{\mu U}\left(\dfrac cr\right)\) | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ½ | 1 | 1½ | 2 | ∞ | ½ | 1 | 1½ | 2 | ∞ | |
| 0.1 | 0.059 | 0.149 | 0.211 | 0.247 | 0.364 | 2.148 | 2.162 | 2.171 | 2.175 | 2.188 |
| 0.2 | 0.127 | 0.318 | 0.441 | 0.513 | 0.737 | 2.297 | 2.340 | 2.363 | 2.376 | 2.408 |
| 0.3 | 0.218 | 0.531 | 0.725 | 0.836 | 1.178 | 2.530 | 2.606 | 2.645 | 2.665 | 2.719 |
| 0.4 | 0.348 | 0.826 | 1.110 | 1.269 | 1.754 | 2.854 | 2.972 | 3.030 | 3.059 | 3.138 |
| 0.5 | 0.551 | 1.265 | 1.668 | 1.890 | 2.560 | 3.309 | 3.481 | 3.563 | 3.604 | 3.716 |
| 0.6 | 0.899 | 1.969 | 2.538 | 2.844 | 3.766 | 3.985 | 4.226 | 4.339 | 4.396 | 4.555 |
| 0.7 | 1.587 | 3.236 | 4.045 | 4.471 | 5.753 | 5.081 | 5.421 | 5.576 | 5.655 | 5.883 |
| 0.8 | 3.277 | 6.012 | 7.221 | 7.842 | 9.713 | 7.111 | 7.624 | 7.844 | 7.956 | 8.290 |
| 0.9 | 9.856 | 15.306 | 17.405 | 18.463 | 21.661 | 12.162 | 13.062 | 13.412 | 13.588 | 14.122 |
補充：原講義的 Fig. 8-9 為教科書的讀圖曲線（雙軸、正反兩向刻度）；本站兩張圖與上表由前節的 Reynolds 數值解重算（網格加密後變化 < 0.1%；無限長的情形另以 ODE 積分交叉驗證），與教科書例題 8-6 表中 \(l/d=1\) 的五組讀值相差約 1%（圖中白圈）。
原圖對照（Fig. 8-9 與使用步驟）
例題 8-4 Example 8-4
直徑 4 in、長 6 in 的 120° 中心部分軸承，最小油膜厚度 0.001 in，徑向間隙 0.002 in，使用 SAE 10 油；投影面積上的負載 82 psi，轉速 900 rpm。求油膜溫度與摩擦馬力。
查設計圖：負載數 1.668、摩擦數 3.563。
$$W_1=pd=82(4)=328\ \text{lb/in},\qquad U=\frac{\pi dn}{60}=\frac{\pi(4)(900)}{60}=188.5\ \text{in/s}$$ $$\mu=\frac{W_1}{1.668\,U}\left(\frac cr\right)^2=\frac{328\times10^{-6}}{1.668(188.5)}=1.043\ \mu\text{reyn}=7.19\ \text{mPa·s}$$由 SAE 10 的黏度—溫度關係，7.19 mPa·s 對應油膜溫度約 77.9 °C（172 °F）。
$$F_1=3.563\,\mu U\frac rc=3.563\left(1.043\times10^{-6}\right)(188.5)(1000)=0.700\ \text{lb/in}$$ $$T=F_1lr=0.700(6)(2)=8.40\ \text{in·lb},\qquad P=\frac{8.40(900)}{63\,025}=\mathbf{0.120\ hp},\qquad f=\frac{F_1}{W_1}=0.00214$$原圖對照（例題 8-4）
熱平衡 Heat Balance
自冷式（油環潤滑）軸承的摩擦熱全部經由外殼散到空氣中。穩態時，摩擦產生的熱 \(H_1\) 等於外殼散出的熱 \(H_2\)：
$$H_1=T\omega=F_1lr\cdot2\pi n=F_1l\pi dn$$ $$H_2=C_1A_c\Delta T_h,\qquad A_c=C_2\left(\pi dl\right)$$ $$H_1=H_2\ \Longrightarrow\ F_1n=C_1C_2\,\Delta T_h$$\(\omega\) 以 rad/min 計（\(\omega=2\pi n\)）；\(C_1\) 為散熱係數，\(C_2\) 為外殼散熱面積與軸頸展開面積 \(\pi dl\) 之比，\(\Delta T_h\) 為外殼高於周圍空氣的溫升。單位換算：
$$1\ \frac{\text{Btu}}{\text{hr·ft}^2\text{·°F}}=\frac{778\times12\ \text{in·lb}}{(60\ \text{min})(12\ \text{in})^2(\text{°F})}=1.0805\ \frac{\text{in·lb}}{\text{min·in}^2\text{·°F}}$$（9336/8640 ＝ 1.08056，原文取 1.0805，以下照用。）
原圖對照（油環軸承與熱平衡）
例題 8-5 Example 8-5
120° 中心部分軸承，軸徑 3½ in、軸向長度 5¼ in，轉速 900 rpm；負載為投影面積乘以 120 psi。\(r/c=1000\)，最小油膜厚度 0.00075 in。外殼面積為軸頸展開面積的 8 倍（\(C_2=8\)），散熱率 \(C_1=2\) Btu/(hr·ft²·°F)。求外殼高於周圍空氣的平均溫升。
查設計圖：負載數 2.245、摩擦數 4.083。兩者相除，黏度消去：
$$F_1=W_1\frac cr\cdot\frac{4.083}{2.245}=420(0.001)(1.819)=0.764\ \text{lb/in}$$ $$\Delta T_h=\frac{F_1n}{C_1C_2}=\frac{0.764(900)}{(2\times1.0805)(8)}=\mathbf{39.8\ ^\circ F}$$原圖對照（例題 8-5）
例題 8-6 Example 8-6
直徑 3 in、長 3 in 的 120° 中心部分油環軸承，轉速 1200 rpm，使用 SAE 10 油，室溫 80 °F。假設外殼溫升為油膜溫升的一半，散熱率 2 Btu/(hr·ft²·°F)，散熱面積為軸頸展開面積的 16 倍，\(r/c=1000\)。在油膜溫度 155～165 °F（每 2.5 °F 一點）的範圍內，畫出承載 \(P\) 對溫度、\(P\) 對 \(h_0\) 的曲線。
假設自冷、穩態。作法是先假設油膜平均溫度 \(t_{av}\)，由熱平衡求 \(F_1\)，再查圖求 \(\varepsilon\) 與承載：
$$U=\frac{\pi dn}{60}=\frac{\pi(3)(1200)}{60}=188.5\ \text{in/s},\qquad \Delta T_h=\frac{t_{av}-80}{2}$$ $$F_1=\frac{C_1C_2\Delta T_h}{n}=\frac{2\times1.0805\times16\,\Delta T_h}{1200}=0.0288\,\Delta T_h$$- 由 \(t_{av}\) 查 SAE 10 的黏度 \(\mu\)。
- 算摩擦數 \(\dfrac{F_1}{\mu U}\dfrac cr\)，查圖（\(l/d=1\)）得 \(\varepsilon\)。
- 由 \(\varepsilon\) 查負載數，得 \(W_1=(\text{負載數})\,\mu U\left(\dfrac rc\right)^2\)、\(P=W_1/d\)。
- \(h_0=c(1-\varepsilon)\)，\(c=1.5/1000=0.0015\) in。
| \(t_{av}\)（°F） | \(\Delta T_h\) | \(F_1\)（lb/in） | \(\mu\)（μreyn） | 摩擦數 | \(\varepsilon\) | 負載數 | \(P\)（psi） | \(h_0\)（in） |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 155 | 37.50 37.50 | 1.0805 1.0805 | 1.416 1.390 | 4.049 4.124 | 0.580 0.585 | 1.795 1.850 | 159.7 161.6 | 0.00063 0.00062 |
| 157.5 | 38.75 38.75 | 1.1165 1.1165 | 1.351 1.332 | 4.385 4.444 | 0.617 0.622 | 2.128 2.174 | 180.6 182.0 | 0.00058 0.00057 |
| 160 | 40.00 40.00 | 1.1525 1.1525 | 1.290 1.278 | 4.740 4.785 | 0.650 0.653 | 2.493 2.519 | 202.1 202.8 | 0.00053 0.00052 |
| 162.5 | 41.25 41.25 | 1.1885 1.1885 | 1.233 1.228 | 5.114 5.128 | 0.679 0.680 | 2.894 2.882 | 224.2 222.4 | 0.00048 0.00048 |
| 165 | 42.50 42.50 | 1.2246 1.2246 | 1.179 1.184 | 5.509 5.495 | 0.706 0.704 | 3.335 3.279 | 247.2 244.2 | 0.00044 0.00044 |
每格上方為本站重算（黏度依 ASTM D341、查圖改用 Reynolds 數值解），下方灰字為教科書表中的值。教科書第 5、7 欄印的是摩擦數、負載數的倒數（第一列除外，標有星號），此處一律換成正數形式以便比較。
由曲線可讀出任一承載下的工作點：例如 \(P=200\) psi 時，油膜溫度約 159.8 °F、\(h_0\approx0.00053\) in（教科書圖中虛線讀值同為約 159.7 °F、0.00053 in）。
編註：(1) 原講義的「Given Information」寫 \(C_2=8\)，與題文「16 倍」不符；解題實際用 16（\(F_1=0.0288\Delta T_h\) 即由 16 算出）。(2) 題中列的負載 0.83 N/mm²（約 120 psi）沒有用在表中；依本站曲線，承載 120 psi 時油膜溫度約 150.1 °F、\(h_0\approx0.00076\) in。若油膜溫度低於約 136.5 °F，所需摩擦數會小於 \(2\pi/3\)（Petroff 下限），熱平衡無解。(3) \(C_1=2\) Btu/(hr·ft²·°F) 換成 SI 為 11.36 W/(m²·°C)，原講義寫 11.5。
原圖對照（例題 8-6）
